В теорії вузлів вісімка (чотириразовий вузол або вузол Лістинга) — це єдиний вузол з числом перетинів 4. Це найменше можливе число перетинів, за винятком тривіального вузла і трилисника. Вісімка є простим вузлом. Вперше розглянутий Лістингом у 1847 році.

Походження назви Назва походить від побутового вузла вісімка на мотузці, кінці якої з'єднані.

Опис Просте параметричне подання вузла «вісімка» задається множиною точок (x,y,z), для яких

де t — дійсна змінна.

Вісімка є простим, альтернованим, вузлом з відповідним значенням 5/2. Він є також ахіральним вузлом. Вісімка є вузлом. Це випливає з іншого, складнішого (але цікавішого) подання вузла:

Вузол є однорідноюКоса називається однорідною, якщо будь-який генератор або завжди додатний, або завжди від'ємний. замкнутою косою (а саме, замиканням коси з 3 нитками σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема показує, що будь-яка однорідна коса є розшарованою. Вузол є зачепленням у точці (0,0,0,0) — ізольованій критичній точці дійсного поліноміального відображення F: R4→R2 так, що (згідно з теоремою Джона Мілнора) F є розшаруванням. Бернард Перон знайшов першу таку функцію F для цього вузла, а саме:

де

.

Математичні властивості Вузол «вісімка» грав історично важливу роль (і продовжує її грати) в теорії . Десь в середині 1970-х, Вільям Терстон показав, що вісімка є гіперболічним вузлом шляхом розкладання його доповнення на два ідеальних гіперболічних тетраедри (Роберт Райлі і Троельс Йорґенсен, працюючи незалежно один від одного, до цього показали, що вісімка є гіперболічної в іншому сенсі). Ця конструкція, нова на той час, привела його до багатьох сильних результатів і методів. Наприклад він зміг показати, що всі, окрім десяти, на вузлі «вісімка» дають , такі, що не допускають розшарування Зейферта 3-многовиди. Це був перший з таких результатів. Багато інших було відкрито шляхом узагальнення побудови Терстона для інших вузлів і зачеплень.

Вісімка є також гіперболічним вузлом з найменшим можливим об'ємом …, згідно з роботою Чо Чунь (Chun Cao) і Роберта Маєрхофа (Robert Meyerhoff). З цієї точки зору вісімку можна розглядати як найпростіший гіперболічний вузол. Доповнення вісімки є подвійним накриттям , який має найменший об'єм серед некомпактних гіперболічних 3-многовидів.

Вузол «вісімка» і є двомя гіперболічними вузлами, для яких відомо більше шести особливих хірургій, хірургій Дена, які приводять до негіперболічних 3-многовиів. Вони мають 10 і 7 відповідно. Теорема Лекенбі (Lackenby) і Маєргофа, доведення якої спирається на гіпотезу про геометризацію і використання комп'ютерних обчислень, стверджує, що 10 є найбільшим можливим числом особливих хірургій для будь-яких гіперболічних вузлів. Однак досі не встановлено, чи є вісімка єдиним вузлом, на якому досягається межа 10. Добре відома гіпотеза стверджує, що нижня межа (за винятком двох згаданих вузлів) дорівнює 6.

Інваріанти Многочлен Александера вісімки дорівнює

многочлен Конвея дорівнює

4_1 Knot Atlas

а многочлен Джонса дорівнює

Симетрія відносно і у многочлені Джонса свідчить про ахіральність вісімки.

Примітки

Література

(див задачу 1.77, за , для окремих нахилів)

Посилання 4_1 Knot Atlas Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.