В теорії вузлів діаграма вузла або зачеплення є альтернованою, якщо перетини чергуються — під, над, під, над і т. д., якщо йти вздовж кожної компоненти зачеплення. Зачеплення є альтернованим, якщо воно має альтерновану діаграму.
Багато з вузлів з числом перетинів, меншим 10, є альтернованими. Цей факт і корисні властивості альтернованих вузлів, такі як гіпотези Тета, дозволили деяким дослідникам, включно з Тейтом, скласти таблиці з відносно малим числом помилок або упущень. Найпростіші неальтерновані прості вузли мають 8 перетинів (і є три таких вузли — 819, 820, 821).
Існує гіпотеза, що в міру зростання числа перетинів відсоток неальтернованих вузлів прямує до 0 експоненціально швидко.
Альтерновані зачеплення відіграють важливу роль у теорії вузлів і теорії внаслідок того, що їх доповнення мають корисні й цікаві геометричні та топологічні властивості. поставив питання: «Що є альтернований вузол?», тобто, які властивості доповнення вузла, не пов'язані з діаграмами, можуть характеризувати альтерновані вузли.
В листопаді 2015 Джошуа Еван Ґрін опублікував препринт, у якому встановлюється характеризація альтернованих зачеплень у термінах визначення стягувальних поверхонь, тобто визначення альтернованих зачеплень (серед яких альтерновані вузли є окремим випадком) без використання концепції діаграм зачеплень.
Різна геометрична й топологічна інформація відкривається в альтернованих діаграмах. Простоту і зачеплення добре видно на діаграмі. Число перетинів наведеної альтернованої діаграми є числом перетинів вузла, і це одна зі знаменитих гіпотез Тейта.
Альтернована діаграма вузла має відповідність один-до-одного з планарним графом. Кожен перетин зв'язується з ребром і половина зв'язних компонент доповнення діаграми пов'язані з вершинами.
Гіпотези Тейта Гіпотези Тейта:
Будь-яка наведена діаграма альтернованого зачеплення має найменше з можливих число перетинів. Будь-які дві наведені діаграми того ж самого альтернованого вузла мають однакове число закрученості. Якщо дано дві наведені діаграми D1 і D2 орієнтованого простого альтернованого зачеплення, D1 можна перетворити на D2 шляхом послідовності простих рухів, які називаються . Гіпотеза відома також як гіпотеза Тейта про перевертання.
Перші дві гіпотези Тейта довели , і Куніо Мурасугі (Kunio Murasugi) 1987 року, а 1991 року той самий Тістлетвейт і довели гіпотезу Тейта про перевертання.
Гіперболічний об'єм
Вільям Менаско, застосувавши Терстона для , довів, що будь-яке просте нерозвідне альтерноване зачеплення є гіперболічним, тобто доповнення зачеплення має гіперболічну геометрію, якщо тільки зачеплення не є торичним.
Таким чином, гіперболічний об'єм є інваріантом багатьох альтернованих зачеплень. показав, що об'єм має верхні і нижні лінійні границі як функції від числа ділянок перекручування на наведеній альтернувальній діаграмі.
Примітки
Література
Посилання
Celtic Knotwork — побудова альтернованого вузла за його планарним графом