Гіпотези Тета — це три гіпотези, висловлені математиком 19-ого століття Пітером Гатрі Тетом під час . Гіпотези Тета оперують концепціями з теорії вузлів, такими як альтерновані вузли, хіральність і число закрученості. Всі гіпотези Тета доведено, останньою була гіпотеза про перевертання.
Передумови
Тет прийшов до своїх гіпотез у кінці XIX століття після спроб всі вузли. Як у засновника теорії вузлів, його робота не мала суворого математичного обґрунтування, і не зовсім зрозуміло, поширював він свої гіпотези на всі вузли, чи тільки на альтерновані. Виявилося, що більшість із них правильні тільки для альтернованих вузлів. У гіпотезах Тета діаграма вузла називається «скороченою», якщо всі «перешийки» або «тривіальні перехрещення» вилучено.
Число перетинів альтернованих вузлів Тет припустив, що за деяких обставин число перетинів є інваріантом вузла, зокрема: Будь-яка скорочена діаграма альтернованого зачеплення має найменшу можливу кількість перетинів Іншими словами, число перетинів скороченого альтернованого зачеплення є інваріантом вузла. Цю гіпотезу довели Луїс Кауфман, Куніо Мурасугі (村杉邦男) і Морвен Б. Тістлетвейт у 1987 за допомогою многочлена Джонса. Геометричне доведення, що не використовує многочленів вузла, дав 2017 року Джошуа Грін (Joshua Greene).
Число закрученості й хіральність Друга гіпотеза Тета: Амфіхіральне (або ахіральне) альтерноване зачеплення має нульове число закрученості. Цю гіпотезу також довели Кауфман і Тістлетвейт.
Перевертання
Гіпотезу Тета про перевертання можна сформулювати так: Якщо дано дві скорочені альтерновані діаграми і орієнтованого простого альтернованого зачеплення, просте альтерноване зачеплення можна перетворити на шляхом послідовності деякого виду операцій, які називаються перевертанням Гіпотезу Тета про перевертання довели Тістлетвейт і Вільям Менаско 1991 року. З гіпотези Тета про перевертання випливає кілька інших гіпотез Тета: Будь-які дві скорочені діаграми одного альтернованого вузла мають однакове число закрученості. Це випливає з того, що перевертання зберігає число закрученості. Цей факт довели раніше Мурасугі і Тістлетвейт. Це також випливає з роботи Гріна. Для неальтернованих вузлів ця гіпотеза не правильна і пара Перко є контрприкладом. З цього результату випливає така гіпотеза: Альтерновані амфіхіральні вузли мають парне число перетинів. Це випливає з того, що дзеркальний вузол має протилежне число закрученості. Ця гіпотеза знову правильна тільки для альтернованих вузлів — існує неальтернований амфіхіральний вузол з числом перетинів 15.
Див. також Простий вузол
Примітки
Література