Теорема Віталі — твердження у комплексному аналізі про властивості рівномірно обмеженої послідовності голоморфних функцій. Теорема названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі .

Твердження теореми

Якщо послідовність функцій голоморфних в області є рівномірно обмежена на компактних підмножинах і для всіх що належить підмножині що має граничну точку всередині існує границя то є рівномірно збіжною на компактних підмножинах до функції що є голоморфною на

Зауваження. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за — бікруг із змінними і розглянути послідовність функцій

Доведення

Припустимо, що послідовність не є збіжною в деякій точці Тоді з послідовності чисел можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел і Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть і

Послідовності і є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах і тому, згідно теореми Монтеля з них можна виділити нові підпослідовності і що рівномірно на компактних підмножинах збігаються до функцій і Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на . Оскільки то також Але послідовності і як підпослідовності з збігаються на всіх точках до однакових границь, тож для всіх Але має граничну точку всередині і тому, згідно теореми про рівність Одержане протиріччя доводить, що послідовність є збіжною в усій області Рівномірна збіжність на компактних підмножинах випливає із теореми Монтеля.

Примітки

Посилання

Vitali's Theorem on convergence of holomorphic functions на сайті MathOverflow

Див. також

Теорема Монтеля

Література