У математиці максимальний оператор Гарді — Літлвуда M є важливим сублінійним оператором, що широко застосовується у дійсному і гармонічному аналізі. Аргументом цього оператора є локально інтегровна функція f : Rd → C і результатом інша функція Mf яка в кожній точці x ∈ Rd рівна супремуму середніх значень, які функція f має в усіх кулях з центром у цій точці. Точніше

де B(x, r) є кулею радіуса r з центром у точці x і |E| позначає d-вимірну міру Лебега підмножини E ⊂ Rd.

Середнє значення є неперервною функцією аргументів x і r, тому максимальна функція Mf, як супремум по r > 0, є вимірною. Важливим результатом є те, що Mf є майже всюди скінченною, що випливає із максимальної нерівності Гарді — Літлвуда.

Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда Оператор M є обмеженим як сублінійний оператор із Lp(Rd) у себе для p > 1. Якщо f ∈ Lp(Rd) тоді максимальна функція Mf є слабко L1-обмеженою і Mf ∈ Lp(Rd). Для формального твердження теореми позначимо для простоти як {f > t} множину {x | f(x) > t}. Тоді:

Теорема (Слабка оцінка). Для d ≥ 1 і f ∈ L1(Rd), існує константа Cd > 0 така, що для всіх λ > 0:

Із використанням цієї нерівності і теореми Марцинкевича можна отримати сильніше твердження:

Теорема (Сильна оцінка). Для d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ і f ∈ Lp(Rd), існує константа Cp,d > 0 для якої

Найкращі значення для константи Cp,d не є відомими. Проте Штейн із використанням метода Зигмунта — Кальдерона довів таку теорему:

Теорема (незалежність від розмірності). Для 1 < p ≤ ∞ можна вибрати Cp,d = Cp незалежно від розмірності d.

Доведення Для p = ∞, нерівність є тривіальною (оскільки середнє значення функції є не більшим ніж її істотний супремум). Для 1 < p < ∞ використовується версія леми Віталі про покриття для доведення слабкої оцінки:

Лема. Нехай X — сепарабельний метричний простір і — сім'я відкритих куль обмеженого діаметра. Тоді у існує не більш, ніж зліченна підмножина усі елементи якої не перетинаються між собою і також

де 5B для кулі B позначає кулю з тим же центром і радіусом в 5 раз більшим.

Якщо Mf(x) > t, тоді, за означенням, можна знайти кулю Bx з центром у точці x для якої

Згідно леми, серед таких куль можна знайти послідовність куль Bj, що не перетинаються між собою і для яких кулі 5Bj покривають множину {Mf > t}. Звідси також:

Це завершує доведення слабкої оцінки. Далі із неї доводяться оцінки для Lp. Введемо функцію b задану як b(x) = f(x), якщо |f(x)| > t/2 і 0 в іншому разі. Застосувавши слабку оцінку до функції b одержуємо:

де C = 5d. Тоді

Згідно оцінки вище маємо:

де константа Cp залежить лише від p і d. Це завершує доведення теореми.

Константу у доведенні можна покращити до використовуючи внутрішню регулярність міри Лебега і скінченну версію леми Віталі про покриття.

Застосування Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда застосовується зокрема для доведення таких тверджень:

Теорема Лебега про диференціювання Теорема Радемахера

Коментарі Найменші значення констант Cp,d і Cd є невідомими.

Є кілька варіантів максимального оператора Гарді — Літлвуда у означенні яких замість куль із центром у вказаній точці використовуються інші сім'ї множин. Наприклад можна розглядати оператор

де кулі Bx мають містити точку x, але x може не бути центром таких куль. Іншим прикладом є діадичний максимальний оператор

де Qx позначає діадичні куби, що містять точку x. Обидва ці оператори задовольняють максимальну нерівність Гарді — Літлвуда.

Примітки

Література

Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis. Princeton University Press, 2005