Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками:
.
Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є збіжним тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною.
Приклади Геометричний ряд 1/2-1/4+1/8-1/16+ є збіжним до 1/3.
Знакопереміжний гармонічний ряд має скінченну суму, а гармонічний ряд — ні.
Ряд Меркатора надає аналітичний вираз для натурального логарифму:
Функції синус і косинус, що використовуються в тригонометрії, в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно, , та
Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт , то отримаємо гіперболічні функції і , що використовуються в математичному аналізі.
Для цілого чи додатного індексу функцію Бесселя першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду
де — це гамма-функція.
Якщо — комплексне число, тоді функція Діріхле подається у вигляді знакопереміжного ряду
що використовується в аналітичній теорії чисел. Ознака Лейбніца Ознака Лейбніца — ознака збіжності знакопереміжного ряду, встановлена Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд
,
для якого виконуються такі умови:
, починаючи з деякого номера (),
Тоді такий ряд збігається.
Зауваження
Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються рядами Лейбніца.
Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є необхідним для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова є саме необхідною умовою): ця ознака є достатньою, але не обов'язковою (наприклад, ряд збігається).
Ряд Лейбніца може абсолютно збігатися (якщо збігається ряд ), а може збігатися умовно (якщо ряд із модулів розбігається).
Приклад . Ряд з модулів має вигляд — це гармонічний ряд, який розбігається.
Тепер скористаємося ознакою Лейбніца:
знакопереміжність виконано; ; .
Отже, оскільки всі умови виконано, ряд збігається (причому умовно, оскільки ряд з модулів розбіжний).
Оцінка залишку ряду Лейбніца З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду (залишок ряду):
Залишок збіжного знакопереміжного ряду буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:
Знакозмінний ряд Знакопереміжні ряди також іноді називають знакозміннимиФихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 2 стор. 302, проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.
Наближені суми Наведена вище оцінка не залежить від . Отже, якщо {} монотонно збігається до , то оцінка абсолютної похибки для наближення нескінченних сум частковими є такою:
Абсолютна збіжність Ряд абсолютно збіжний, якщо ряд — збіжний.
Теорема: Абсолютно збіжний ряд є збіжним.
Умовна збіжність Ряд називають умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.
Наприклад, гармонічний ряд
розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія
збігається за ознакою Лейбніца.
Перестановки Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається безумовно збіжним, якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними. Але теорема Рімана про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої збіжності. Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.
Наприклад, одне з хибних доведень, що , використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.
Ще один приклад, як відомо
Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для :
Прискорення збіжності ряду Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик прискорення збіжності рядів. Однією з найдавніших методик є підсумування Ейлера, а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.
Див. також Ознака Діріхле — узагальнення ознаки Лейбніца Ряд Гранді
Примітки
Джерела
(1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.