Ідемпотентність ( — такий самий, — сильний) — властивість унарних та бінарних операцій в алгебрі та логіці. Термін «ідемпотентність» означає властивість, яка проявляється в тому, що повторна її дія над будь-яким об'єктом уже не змінює результату. Тобто повторне виконання операцій з об'єктом не змінює результату, досягнутого при першому виконанні. Термін запропонував американський математик Бенджамін Пірс в статтях 1870-х років.
Визначення Унарна операція чи функція називається ідемпотентною, якщо її застосування двічі до будь-якого значення аргументу дає таке ж значення, як і застосування один раз:
Бінарна операція називається ідемпотентною, якщо для довільного елемента виконується:
Закон ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції Закон ідемпотентності — це закон математичної логіки, по якому з логіки виключаються коефіцієнти і показники ступенів.
Закон ідемпотентності можна отримати з закону поглинання, з використанням закону дистрибутивності:
Так логічне множення двох висловлювань рівносильне , тобто: і читається так « і рівносильне ».
Закон ідемпотентності відносно диз'юнкції виводиться безпосередньо із закону нуля та одиниці:
Логічне додавання двох висловлювань , рівносильне , тобто: і читається так « або рівносильне ».
Формулювання закону: повторення висловлювання через «і» та «або» рівносильне самому висловлюванню. Наприклад, «Марс — планета і Марс — планета» є те ж саме, що «Марс — планета»; « Сонце — зірка або Сонце — зірка» те ж саме, що «Сонце — зірка».
Наслідки ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції Наслідками ідемпотентності диз'юнкції є рівність
Наслідками ідемпотентності кон'юнкції є рівність А = АА = ААА = АААА =… В алгебрі логіки можна обходитися без степенів. Всі «степені» висловлення А рівні самому А (звідси літерний сенс слова «ідемпотентність»).
Приклади ідемпотентних операцій Об'єднання і перетин множин є ідемпотентними бінарними операціями. Операції булевої алгебри: кон'юнкція та диз'юнкція є ідемпотентними бінарними операціями. Бінарні операції є ідемпотентними. Операція проектування (знаходження проєкції) є ідемпотентною унарною операцією. Звернемо увагу на те, що одну і ту ж імпліканту можна склеїти з іншими імплікантами багаторазово, так як в логіці Джоржа Буля діє закон ідемпотентності:
тому будь-яку константу можна розмножити Розглянемо алгебру множин (алгебру Кантора, алгебру класів)
Носієм якої є булеан універсальної множини 1, сигнатурою — операції об'єднання , перетину та доповнення . Закон ідемпотентності об'єднання та перетину виконується для операції алгебри Кантора:
Ідемпотентна операція в інформатиці — дія, багаторазове повторення якої призводить до тих же змін, що й при одноразовому. Прикладом такої операції можуть служити GET- запити в протоколі HTTP. По специфікації сервер повинен повертати одні й ті ж відповіді на ідентичні запити (за умови що ресурс не змінився між ними з інших причин). Така особливість дозволяє кешувати відповіді, знижуючи навантаження на мережу
Елемент Ідемпотентний елемент в алгебрі — елемент напівгрупи, що зберігається при піднесення до степеня. Варіант: Ідемпотентний елемент — елемент напівгрупи або кільця, рівний своєму квадрату: . Ідемпотентний елемент містить ідемпотентний елемент (позначається ), якщо . Для асоціативних кілець і напівгруп відношення є відношенням часткового порядку в множині ідемпотентних елементів і називається природним частковим порядком на множині . Два ідемпотентних елемента та кільця називаються ортогональними, якщо .
Прикладні приклади Прикладні приклади, з якими багато людей змогло зіткнутися в їх щоденному житті, включаючи кнопки виклику ліфта і кнопки переходу. Початкова активація кнопки переміщає систему в очікування. Подальші активації кнопки між початковою активацією і запитом, що задовольняється, не мають ніякого ефекту.
Лінійний оператор Ідемпотентний лінійний оператор — те саме, що і проектор.
Для простору нескінченної розмірності
де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.
Див. також Ідемпотентний елемент Асоціативність Комутативність Дистрибутивність Кон'юнкція Диз'юнкція Булева алгебра
Література