Множина куполів П'ятисхилий купол (приклад)ТипМножина куполівСимвол Шлефлі{n} || t{n}Граней2n+2 : n рівнобедрених трикутників,n прямокутників,1 правильний n-кутник,1 2n-кутникРебер5nВершин3nХарактеристика ЕйлераПозначення Un ()Група симетрії, [n], (*nn), порядок 2n (Циклічна симетрія n-Піраміди)Група поворотівCn, [n]+, (nn), порядок nДуальний многогранник?Властивостіопуклий Ку́пол (n-схилий купол) — тіло, утворене з'єднанням двох багатокутників, у якому один (основа) має вдвічі більше сторін, порівняно з іншим (верхньою гранню). З'єднання багатокутників здійснюється рівнобедреними трикутниками і прямокутниками.
n-схилий купол — призматоїд, що складається з 2n-кутника (нижня основа купола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: n прямокутників та n рівнобедрених трикутників. При чому нижня грань може бути правильним 2n-кутником, або напівправильним 2n-кутником, у якого сторони рівні через одну і всі кути рівні.
Купол можна розглядати як призму, де один з багатокутників наполовину стягнуто попарним об'єднанням вершин.
Куполу можна приписати розширений символ Шлефлі {n} || t{n}, що описує правильний багатокутник {n}, з'єднаний з паралельною йому зрізаною копією, t{n} або {2n}.
Куполи є підкласом призматоїдів.
Його двоїстий многогранник має форму, яка є свого роду поєднанням половини n-стороннього трапецоедра та 2n-гранної піраміди.
Купол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи.
Два купола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи многогранник .
Куполи і бікуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини пірамід, біпірамід, призм, антипризм, трапецоедрів та ін.
Приклади Трикутну призму можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).
Якщо бокові грані купола є правильними трикутниками та квадратами, тоді як основа і верхня грань є правильними багатокутниками, купол є многогранником Джонсона. Ці куполи: трисхилий купол, чотирисхилий і , можна отримати, взявши зрізи кубооктаедра, ромбокубооктаедра і ромбоікосододекаедра відповідно. Якщо купол має всі ребра одинакової довжини (правильногранний) ‒ n = 3, 4, 5, то: Висота купола:
Радіус описаної сфери:
Рівносторонній «Шестисхилий купол» є плоскою фігурою. Таким чином, сімейство куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.
Куполи з числом сторін багатокутників n > 5 можна побудувати тільки з неправильними трикутними і прямокутними гранями.
Координати вершин Визначення купола не вимагає правильності основи і верхньої грані, але зручно розглядати випадки, в яких куполи мають максимальну симетрію, Cnv. В цьому випадку верхня грань є правильним n-кутником, тоді як основа є правильним 2n-кутником, або 2n-кутником з двома різними довжинами сторін (через одну) і тими ж кутами, що й у правильного 2n- кутника.
Розташуємо купол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від A1 до An.
Координати вершинhttps://mathworld.wolfram.com/Cupola.html тоді можна записати таким чином:
де k = 1, 2, …, n.
‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)
‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)
‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.
h ‒ висота купола
Координати вершин купола, повернутого на деякий кут навноло його осі (осі z):
де k = 1, 2, …, n.
Антикуполи Множина антикуполів П'ятисхилий антикупол (приклад)ТипМножина антикуполівСимвол Шлефліs{n} || t{n}Гранейn рівнобедрених трикутників,2n різносторонніх трикутників,1 правильний n-кутник,1 правильний 2n-кутникРебер6nВершин3nХарактеристика ЕйлераПозначення Vn ()Група симетріїCnv, [1,n], (*nn), порядок 2nГрупа поворотівCn, [1,n]+, (nn), порядок nДуальний многогранник?Властивостіопуклий Антику́пол (n‒ кутний антикупол) — тіло, що складається з правильного 2n-кутника (основа антикупола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та 3n трикутників двох типів (n рівнобедрених трикутників та 2n різносторонніх трикутників).
При n = 2, верхня грань вироджується в ребро. Антикуполи є підкласом призматоїдів.
Антикупол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ та перпендикулярна їм, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь многогранника та вершини нижньої основи.
Не можна побудувати n-кутний антикупол, щоб всі його грані були правильними багатокутниками; лише деякі грані можуть бути зроблені правильними.
+ Сімейство опуклих антикуполівn2 3 4 5 6…НазваДигональний антикуполТрисхилий антикуполЧотирисхилий антикуполП'ятисхилий антикуполШестисхилий антикуполАнтикуполПрозоре зображенняСимвол Шлефлі s{2} || t{2} s{3} || t{3} s{4} || t{4} s{5} || t{5} s{6} || t{6}Розгортка
Координати вершин антикупола Координати вершин n ‒ антикупола можемо отримати з координат вершин n ‒ купола шляхом повороту верхнього n ‒ кутника на кут
Розташуємо антикупол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від A1 до An.
Координати вершин тоді можна записати таким чином:
Поворот n — кутника відбувається по- або проти годинникової стрілки (відповідно знаки «‒» або «+»)
де k = 1, 2, …, n.
‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)
‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)
‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.
h ‒ висота антикупола.
Два антикупола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, та утворюють многогранник біантикупол.
Антикуполи і біантикуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини пірамід, біпірамід, призм , антипризм , трапецоедрів та ін.
Зірчасті куполи
Зірчасті куполи існують для всіх основ {n/d}, де 6/5 < n/d < 6 і d непарне. На границях куполи перетворюються на плоскі фігури. Якщо d парне, нижня основа {2n/d} вироджується — ми можемо утворити куполоїд або напівукупол шляхом видалення цієї виродженої грані і дозволивши трикутникам і квадратам з'єднуватися один з одним. Зокрема, тетрагемігексаедр можна розглядати як {3/2}-куполоїд. Усі куполи орієнтовані, тоді як всі куполоїди неорієнтовані. Якщо в куполоїда n/d > 2, трикутники і квадрати не покривають всю основу і на ній залишається тоненька перетинка, яка просто закриває отвір. Таким чином, куполоїди {5/2} і {7/2} на малюнку вище мають перетинки (не заповнені), тоді як куполоїди {5/4} і {7/4} їх не мають.
Висота h купола {n/d} або куполоїда задається формулою
.
Зокрема, h = 0 на границях n/d = 6 та n/d = 6/5, і h максимальне при n/d = 2 (трикутна призма, де трикутники розташовані вертикально).
На малюнках вище зірчасті куполи показано в кольорах, щоб підкреслити їх грані — грань n/d-кутника показано червоним, грань 2n/d-кутника показано жовтим, квадрати подано синім кольором, а трикутники — зеленим. Куполоїди мають червоні n/d-кутні грані, жовті квадратні грані, а трикутні грані пофарбовано в блакитний колір, другу ж основу видалено.
Гіперкуполи Гіперкуполи або многогранні куполи — це сімейство опуклих неоднорідних чотиривимірних многогранників, аналогічних куполам. Основами кожного такого многогранника є правильний многогранник (тривимірний) і його розтягнення .
В таблиці використовується поняття сегментогранник () — це фігура, що задовольняє таким властивостям:
1. всі вершини розташовані на одній гіперсфері 2. всі вершини розташовані на двох паралельних гіперплощинах 3. всі ребра мають довжину 1
У площині існує два сегментогранники (сегментокутники) — правильний трикутник і квадрат.
У 3-вимірному просторі до них належать піраміди, призми, антипризми, куполи. НазваДодекаедричний куполШестикутний мозаїчний куполСимвол Шлефлі{3,3} ∨ rr{3,3}{4,3} ∨ rr{4,3}{3,4} ∨ rr{3,4}{5,3} ∨ rr{5,3}{6,3} ∨ rr{6,3}Індекссегментогранника K4.23K4.71K4.107K4.152Радіусописаного кола1МалюнокГоловні коміркиВершин16323080∞Ребер428484210∞Граней4224 {3} + 18 {4}8032 {3} + 48 {4}8240 {3} + 42 {4}19480 {3} + 90 {4} + 24 {5}∞Комірок161 тетраедр4 трикутні призми6 трикутних призм4 трикутні призми1 кубооктаедр281 куб6 квадратних призм12 трикутних призм8 трикутних пірамід1 ромбокубооктаедр281 октаэдр8 трикутних призм12 трикутних призм6 квадратних пірамід1 ромбокубооктаедр641 додекаедр12 п'ятикутних призм30 трикутних призм20 трикутних пірамід1 ромбоікосододекаедр∞1 шестикутна мозаїка∞ шестикутних призм∞ трикутних призм∞ трикутних пірамід1 ромботришестикутна мозаїкаПов'язаніоднорідні4-вимірнімногогранники
Примітки
Література
Посилання
Segmentotopes