У математиці диференціальний інваріант — це інваріант для дії групи Лі на просторі, що залучає похідні графіків функцій у цьому просторі. Диференціальні інваріанти є фундаментальними в проєктивній диференціальній геометрії, і кривизна часто вивчається саме з цієї точки зору. Диференціальні інваріанти в окремих випадках запровадив Софус Лі на початку 1880-х років і приблизно тоді ж їх досліджував Жорж Анрі Альфен. була першою загальною працею про диференціальні інваріанти й встановила зв’язок між диференціальними інваріантами, інваріантними диференціальними рівняннями та інваріантними диференціальними операторами.
Диференціальні інваріанти протиставляють геометричним інваріантам. Якщо диференціальні інваріанти можуть залежати від виділеного вибору незалежних змінних (або параметризації), то геометричні інваріанти — ні. Метод рухомих реперів, який є уточненням картанівського методу рухомих реперів, надає кілька нових потужних інструментів для знаходження та класифікації властивостей еквівалентності й симетрій підмноговидів, диференціальних інваріантів та їхніх сизигій. Хоча метод рухомих реперів менш загальний, ніж методи Лі для диференціальних інваріантів, він завжди дає інваріанти геометричного типу.
Означення Найпростіший випадок — диференціальні інваріанти для однієї незалежної змінної x та однієї залежної змінної y. Нехай G — група Лі, що діє на R2. Тоді G також діє (локально) на просторі всіх графіків вигляду y = ƒ(x). Грубо кажучи, диференціальний інваріант k-го порядку — це функція
що залежить від y та її перших k похідних за x і є інваріантною відносно дії групи.
Група може нетривіально діяти на похідні вищих порядків, і тоді потрібно обчислювати пролонгацію (продовження) групової дії. Дія G на першу похідну, наприклад, задається так, щоб зберігалося ланцюгове правило: якщо
то
Аналогічні міркування застосовні й для обчислення пролонгацій вищих порядків. Проте такий спосіб обчислення пролонгації є непрактичним; значно простіше працювати інфінітезимально на рівні алгебр Лі та похідної Лі вздовж дії G.
У загальнішому випадку диференціальні інваріанти можна розглядати для відображень з будь-якого гладкого многовиду X в інший гладкий многовид Y для групи Лі, що діє на декартовому добутку X×Y. Графік відображення X → Y є підмноговидом у X×Y, який всюди є трансверсальним до шарів над X. Група G діє (локально) на просторі таких графіків і індукує дію на k-ту пролонгацію Y(k), що складається з графіків, які проходять через кожну точку з точністю до відношення дотику k-го порядку. Диференціальний інваріант — це функція на Y(k), інваріантна відносно пролонгації групової дії.
Застосування
Розв’язування задач еквівалентності Диференціальні інваріанти можна застосовувати до дослідження систем диференціальних рівнянь з частинними похідними: пошук подібних розв’язків, інваріантних відносно дії певної групи, може зменшувати розмірність задачі (тобто давати «зведену систему»). Теорема Нетер гарантує існування диференціальних інваріантів, що відповідають кожній диференційовній симетрії варіаційної задачі. Характеристики потоку у комп’ютерному зорі Геометричні інтегратори
Див. також
Метод еквівалентності Картана
Примітки
Джерела . ; English translation: . . .
Зовнішні посилання [(http://www.physics.ucla.edu/~cwp/articles/noether.trans/english/mort186.html) Invariant Variation Problems]