Міра ірраціональності дійсного числа — це дійсне число , що показує, наскільки добре можна наблизити раціональними числами.
Визначення Нехай — дійсне число, і нехай — множина всіх чисел таких, що нерівність має лише скінченне число розв'язків у цілих числах і :
Тоді міра ірраціональності числа визначається як точна нижня грань :
Якщо , то вважають .
Іншими словами, — найменше число, таке, що для будь-якого для всіх раціональних наближень з досить великим знаменником .
Можливі значення міри ірраціональності
тоді й лише тоді, коли — раціональне число. Якщо — алгебричне ірраціональне число, то . Якщо — трансцендентне число, то . Зокрема, якщо , то число називають числом Ліувілля.
Зв'язок з ланцюговими дробами Якщо — розклад числа в ланцюговий дріб, і — -а відповідний ланцюговий дріб, то
За допомогою цієї формули особливо легко знайти міру ірраціональності для квадратичних ірраціональностей, оскільки розклади їх у ланцюгові дроби періодичні. Наприклад, для золотого перетину , і тоді .
Теорема Туе — Зігеля — Рота За лемою Діріхле, якщо ірраціональні, то для будь-якого цілого q знайдеться ціле p таке, що , тобто . 1844 року Ліувілль довів теорему про те, що для будь-якого алгебричного числа мірою можна підібрати константу таку, що . 1908 року Туе посилив цю оцінку. Подальші результати в цьому напрямку отримали Зігель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Найточнішу оцінку довів Рот у 1955 році. Отриману теорему називають теоремою Туе — Зігеля — Рота. Вона стверджує, що якщо — алгебричне ірраціональне число, то . Рот за її доведення отримав філдсівську премію.
Міра ірраціональності деяких трансцендентних чисел Для майже всіх трансцендентних чисел міра ірраціональності дорівнює 2. Добре відомо, що , а також відомі числа Ліувілля, які за визначенням мають нескінченну міру ірраціональності. Однак для багатьох інших трансцендентних констант міра ірраціональності невідома, в кращому випадку, відома деяка оцінка зверху. Наприклад:
Zudilin W. Two hypergeometric tales and a new irrationality measure of ζ(2) , 2013. В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3, Изв. РАН. Сер. матем., 2015, том 79, выпуск 1, 3–20
Див. також Ірраціональні числа Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел Ланцюговий дріб
Примітки
Посилання