Епіполярна геометрія - це геометрія стерео зору . Коли дві камери розглядають 3D-сцену з двох різних позицій, існує ряд геометричних співвідношень між 3D-точками та їх проєкціями на 2D-зображення, що призводять до обмежень можливих положень точок зображення. Ці співвідношення виводяться на основі припущення, що камери можуть бути апроксимовані моделлю камери-обскури.

Визначення На малюнку нижче зображено дві камери-обскури, які дивляться на точку X. У реальних камерах площина зображення фактично знаходиться за фокусним центром і створює зображення, симетричне щодо фокусного центру об’єктива. Однак тут проблема спрощується шляхом розміщення віртуальної площини зображення перед фокальним центром, тобто оптичним центром кожної лінзи камери, щоб отримати неперевернуті зображення. O L і O R представляють центри симетрії двох об'єктивів камер. X представляє певну точку у тривимірному просторі. Точки x L і x R - це проєкції точки X на площини зображення.

Кожна камера отримує 2D-зображення тривимірного світу. Це перетворення з 3D у 2D називається проєкцією в перспективі та описується моделлю камери-обскури. Загальноприйнято моделювати цю операцію проєкції за допомогою променів, які виходять від камери, проходячи через її фокальний центр. Кожному проміню відповідає одна точка на зображенні.

Епіполь або епіполярна точка Оскільки оптичні центри об'єктивів камер різняться, кожен центр можна спроєктувати на окрему точку в площині зображення іншої камери. Ці дві точки зображення, позначені e L і e R, називаються епіполями або епіполярними точками . Обидва епіполі e L і e R у своїх відповідних площинах зображення і обидва оптичні центри O L і O R лежать на одній 3D-лінії.

Епіполярна лінія Лінія O L - X лівої камери розглядається як точка, оскільки вона знаходиться на одній лінії з оптичним центром об'єктива цієї камери. Однак права камера бачить цю лінію як лінію в площині зображення. Ця лінія ( e R - x R ) у правій камері називається епіполярною лінією . Симетрично лінія O R - X розглядається правою камерою як точка, а лівою камерою - епіполярною лінією e L - x L.

Епіполярна площина Точки X, O L & O R утворюють площину, яка називається епіполярною площиною . Епіполярна площина перетинає площину зображення кожної камери по епіполярнії лінії. Усі епіполярні площини та епіполярні лінії перетинають епіполь незалежно від того, де знаходиться Х.

Епіполярне обмеження та тріангуляція Епіполярна геометрія накладає геометричні обмеження на задачу відповідності: для точки одного зображення відповідну їй точку на іншому зображенні потрібно шукати лише вздовж відповідної епіполярної лінії. Якщо взаємне розташування двох камер відомо, це призводить до двох важливих наслідків:

Припустимо, що точка проєкції x L відома та епіполярна лінія e R - x R відома, і точка X проєктується на правому зображенні на точку x R, яка повинна лежати на цій конкретній епіполярній лінії. Це означає, що для кожної точки, що спостерігається на одному зображенні, одна і та ж точка повинна спостерігатися на іншому зображенні на відомій епіполярній лінії. Це забезпечує епіполярне обмеження : проєкція X на праву площину камери x R повинна міститися в е R - x R епіполярній лінії. Усі точки X, напр X 1, X 2, X 3 на лінії O L - X L підтвердять це обмеження. Це означає, що можна перевірити, чи відповідають дві точки одній 3D-точці. Епіполярні обмеження також можуть бути описані істотною матрицею або фундаментальною матрицею між двома камерами. Якщо точки x L і x R відомі, відомі також їхні проєкційні лінії. Якщо дві точки зображення відповідають одній і тій же 3D-точці X, в ідеальній моделі лінії проєкції перетинаються в точці X. Це означає, що X можна обчислити за координатами двох точок зображення, процес називається тріангуляцією .

Спрощені випадки Епіполярна геометрія спрощується, якщо площини зображень двох камер є компланарними та вирівняними (ректифікованими). У цьому випадку відповідні епіполярні лінії мають однакову вертикальну координату на обох зображеннях. Крім того, епіполярні лінії паралельні лінії O L - O R між центрами проєкції і на практиці можуть бути суміщені з горизонтальними осями двох зображень. Це означає, що для кожної точки на одному зображенні можна знайти відповідну точку на іншому зображенні, дивлячись лише вздовж горизонтальної лінії. Якщо камери неможливо розташувати таким чином, координати зображення з камер можуть бути спроєктовані на спільну площину. Цей процес називається ректифікацією зображень .

Епіполярна геометрія лінійкових камер Звичайна кадрова камера реєструє зображення двовимірною матрицею світлочутливих елементів майже одночасно. Лінійкова камера натомість використовує один ряд елементів і формує довге зображення в міру руху платформи або сцени. Тому різні рядки такого зображення отримують у різні моменти часу та з різних положень камери. Геометрія цього процесу відрізняється від центральної проєкції звичайної моделі камери-обскури. Епіполярний слід для лінійкового сенсора загалом не є прямою лінією. Він може мати форму кривої, близької до гіперболи. Крім того, відповідні епіполярні криві двох зображень не завжди утворюють просту взаємно однозначну пару. Це ускладнює ректифікацію та пошук відповідностей у супутникових стереозображеннях. За певних умов руху й орієнтації сенсора геометрію можна наближено описати лінійною моделлю. Таке наближення спрощує обчислення, але його точність потрібно перевіряти для конкретної знімальної системи.

Дивитися також

3D реконструкція Бінокулярна невідповідність Фотограмметрія Фундаментальна матриця Істотна матриця

Посилання