У математиці n-м гармонічним числом називається сума обернених величин перших n послідовних чисел натурального ряду:
Гармонічні числа є частковими сумами гармонічного ряду.
Вивчення гармонічних чисел почалося в античності. Вони мають важливе значення в різних галузях теорії чисел і теорії алгоритмів і, зокрема, тісно пов'язані з дзета-функцією Рімана.
Альтернативні визначення
Гармонічні числа можна визначити рекурентно:
Також правильне співвідношення: , де — дигамма-функція, — стала Ейлера — Маськероні . Ще одне співвідношення:
Додаткові подання Перелічені нижче формули можна використати для обчислення гармонічних чисел (зокрема й у точках, відмінних від точок натурального ряду):
інтегральні подання:
граничні подання:
розкладання в ряд Тейлора в точці :
де — дзета-функція Рімана;
асимптотичний розклад: .
Твірна функція
Властивості
Значення від нецілого аргументу
де — золотий перетин.
Суми, пов'язані з гармонічними числами
Тотожності, пов'язані з гармонічними числами
, де , де
Наближене обчислення За допомогою формули підсумовування Ейлера — Маклорена отримуємо таку формулу:
де , — стала Ейлера, яку можна обчислити швидше з інших міркувань, а — числа Бернуллі.
Теоретико-числові властивості
Теорема Волстенголма стверджує, що для будь-якого простого числа виконується порівняння:
Деякі значення гармонічних чисел
Чисельник і знаменник нескоротного дробу, що являє собою -e гармонійне число, є -ми членами цілочисельних послідовностей A001008 і A002805, відповідно.
Застосування 2002 року Lagarias довів, що гіпотеза Рімана про нулі дзета-функції Рімана еквівалентна твердженням, що нерівність
виконується за всіх цілих зі строгою нерівністю при , де — сума дільників числа .
Див. також Теорема Волстенголма
Примітки
Література