У математиці для даної комплексної ермітової матриці і ненульового вектора відношення Релеятакож відоме під назвою відношення Релея — Ріца, названого на честь Вальтера Ріца і лорда Релея. визначають такHorn, R. A. and C. A. Johnson. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press. pp. 176—180.Parlet B. N. The symmetric eigenvalue problem, SIAM, Classics in Applied Mathematics,1998:
Для дійсних матриць умова ермітовості матриці зводиться до її симетричності, а ермітове спряження векторів перетворюється на звичайне транспонування . Зауважте, що для будь-якої дійсної константи . Нагадаємо, що ермітова (як і симетрична дійсна) матриця має дійсні власні значення. Можна показати, що для матриці відношення Релея досягає мінімального значення (найменше власне число матриці ) коли дорівнює (відповідний власний вектор). Так само можна показати, що і . Відношення Релея використано в теоремі Куранта — Фішера про мінімакс для отримання всіх значень власних чисел. Використовується воно і в алгоритмах знаходження власних значень матриці для отримання наближення власного значення з наближення власного вектора. А саме, відношення є базою для ітерацій з відношенням Релея.
Множину значень відношення Релея називають .
Окремий випадок коваріаційних матриць Коваріаційну матрицю для багатовимірної статистичної вибірки (матриці спостережень) можна подати у вигляді добутку . Як симетрична дійсна матриця, має невід'ємні власні значення і ортогональні (або звідні до ортогональних) власні вектори.
По-перше, оскільки власні значення не від'ємні:
і, по-друге, оскільки власні вектори ортогональні один з одним:
, якщо власні значення різні; в разі однакових значень можна знайти ортогональний базис.
Тепер покажемо, що відношення Релея набуває найбільшого значення на векторі, відповідному найбільшому власному значенню. Розкладемо довільний вектор за базисом власних векторів :
, де є проєкцією на
Отже, рівність
можна переписати так:
Оскільки власні вектори ортогональні, остання рівність перетворюється на
Остання рівність показує, що відношення Релея є сумою квадратів косинусів кутів між вектором і кожним з власних векторів , помножених на відповідне власне значення.
Якщо вектор максимізує , то всі вектори, отримані з множенням на скаляр ( для ) також максимізують . Таким чином, задачу можна звести до знаходження максимуму за умови .
Оскільки всі власні числа не від'ємні, задача зводиться до знаходження максимуму опуклої функція і можна показати, що він досягається при і (власні значення впорядковані за спаданням).
Таким чином, відношення Релея досягає максимуму на власному векторі, відповідному найбільшому власному значенню.
Той самий результат з використанням множників Лагранжа Той самий результат можна отримати за допомогою множників Лагранжа. Задача полягає в знаходженні критичних точок функції
,
за сталої величини Тобто, потрібно знайти критичні точки функції
де — множник Лагранжа.
Для стаціонарних точок функції виконується рівність
і
Таким чином, власні вектори матриці є критичними точками відношення Релея і їхні власні значення — відповідними стаціонарними значеннями.
Ця властивість є базисом методу головних компонент і канонічної кореляції.
Використання в теорії Штурма — Ліувілля Теорія Штурма — Ліувілля полягає в дослідженні лінійного оператора
зі скалярним добутком
,
де функції задовольняють деяким специфічним граничним умовам у точках і . Відношення Релея тут набуває вигляду
Іноді це відношення подають в еквівалентному вигляді, скориставшись інтегруванням частинами:
Узагальнення Для будь-якої пари дійсних симетричних додатноозначених матриць і ненульового вектора , узагальнене відношення Релея визначається як
Узагальнене відношення Релея можна звести до відношення Релея перетворенням , де — розклад Холецького матриці .
Див. також
Примітка
Література