Комплексна проєктивна площина — двовимірний ; є двовимірним комплексним многовидом, дійсна розмірність якого дорівнює 4.
Зазвичай позначається .
Побудова Точки на комплексній проєктивній площині описуються однорідними комплексними координатами
При цьому трійки, що відрізняються на скаляр, вважаються ідентичними:
Топологія
гомеоморфний фактору 5-вимірної сфери за дією Гопфа .
Числа Бетті: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, …..
однозв'язний, його фундаментальна група тривіальна. Нетривіальними гомотопічними групами комплексної проєктивної площини є .
У старших розмірностях, гомотопічні групи ті самі, що в 5-вимірної сфери.
Алгебрична геометрія У біраціональній геометрії комплексна раціональна поверхня — це будь-яка алгебрична поверхня, біраціонально еквівалентна комплексній проєктивній площині. Відомо, що будь-який несингулярний раціональний многовид виходить із площини внаслідок послідовності перетворень роздуття і зворотних до них («стягувань») кривих, які мають бути дуже специфічного виду. Як частковий випадок, несингулярні комплексні поверхні другого порядку в P3 виходять із площини після роздуття двох точок до кривих, а потім стягування прямої через ці дві точки. Зворотні до них перетворення можна бачити, якщо взяти точку на поверхні другого порядку, роздути її, і спроєктувати на звичайну площину в P3, провівши прямі через .
Групою біраціональних автоморфізмів комплексної проєктивної площини є група Кремони.
Диференціальна геометрія
Комплексна проєктивна площина є 4-вимірним многовидом. Вона має природну метрику, звану метрикою Фубіні-Штуді з 1/4-защепленою секційною кривиною; тобто її найбільша секційна кривина дорівнює 4, а мінімальна дорівнює 1. Ця метрика ініціюється на факторі за дією Гопфа на .
Див. також Дійсна проєктивна площина Дійсна точка
Уявна пряма (математика) Фальшива проєктивна площина
Примітки
Література