Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.
Парні функції
Функція називається парною, якщо для будь-якого з області визначення функції виконується рівність.
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.
Приклади парних функцій:
Алгоритм дослідження функції на парність:
Знайти для функції область визначення функції та встановити чи симетрична відносно нуля. Якщо область визначення функції симетрична відносно нуля, тоді: скласти вираз ; порівняти та , якщо функція для будь-якого значення з області визначення функції , то функція — парна.
Приклад Дослідити на парність функцію
Розв'язання: , отже функція парна.
Якщо точка належить графіку парної функції , то точка також належить її графіку.
Непарні функції
Функція називається непарною, якщо для будь-якого з області визначення функції виконується рівність.
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклади непарних функцій
Алгоритм дослідження функції на непарність:
Скласти вираз , для цього у функції замінити аргумент на ; Порівняти і , якщо , то функція — непарна.
Приклад З'ясувати, чи функція — парна, непарна або загального виду.
, тобто, функція непарна.
Якщо точка належить графіку непарної функції , то точка також належить її графіку.
Основні властивості Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією. Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією. Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією. Як для парної, так і для непарної функцій справедливо . Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями. Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями. Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.
Декомпозиція функцій Довільну функцію одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із до області визначення належить і ), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:
Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.
Див. також Парна функція Непарна функція
Примітки
Джерела