Ідеальний трикутник — трикутник у гіперболічній геометрії, всі три вершини якого є ідеальними або нескінченно віддаленими точками. Ідеальні трикутники іноді називають тричі асимптотичними трикутниками, а Їхні вершини — ідеальними вершинами.
Всі ідеальні трикутники рівні.
Властивості Ідеальні трикутники мають такі властивості:
Всі ідеальні трикутники рівні між собою. Всі внутрішні кути ідеального трикутника дорівнюють нулю. Ідеальний трикутник має нескінченний периметр. Ідеальний трикутник є найбільшим можливим трикутником у гіперболічній геометрії.
У стандартній гіперболічній площині (поверхні, де кривина Гауса стала і дорівнює ) ідеальний трикутник також має такі властивості:
Площа такого трикутника дорівнює π .
Радіус вписаного кола рівний .
Відстань від будь-якої точки трикутника до його найближчої сторони менша або дорівнює зазначеному вище радіусу, причому точно ця рівність виконується тільки в центрі вписаного кола.
Вписане коло дотикається до трикутника в трьох точках, утворюючи рівносторонній трикутник зі стороною , де — золотий перетин.
Коло з радіусом d навколо точки всередині трикутника доткнеться принаймні з двома сторонами трикутника або перетне їх.
Відстань від будь-якої точки сторони такого трикутника до іншої сторони менша або дорівнює , причому точно рівність виконується тільки для згаданих вище точок дотику.
a також є висотою трикутника Швейкарта.
Якщо кривина простору дорівнює , відмінному від -1, площі вище слід помножити на , а довжини і відстані — на .
Оскільки ідеальний трикутник є найбільшим можливим у гіперболічній геометрії, зазначені вище значення є найбільшими можливими для трикутників у гіперболічній геометрії. Цей факт є важливим для вивчення гіперболічного простору.
Моделі У моделі Пуанкаре в крузі гіперболічної площини, ідеальний трикутник утворений трьома колами, що перетинають граничне коло під прямим кутом.
У моделі Пуанкаре в півплощині ідеальний трикутник має вигляд арбелоса — фігури між трьома дотичними півколами.
У проєктивній моделі ідеальний трикутник — Евклідів трикутник, вписаний у граничне коло. При цьому на проєктивній моделі кути при вершинах ідеального трикутника не дорівнюють нулю, оскільки ця модель, на відміну від моделей Пуанкаре, не зберігає кутів.
Дійсна група ідеального трикутника +Модель Пуанкаре, замощена ідеальними трикутникамиІдеальна (∞ ∞ ∞) група трикутникаІнше ідеальне замощення Дійсна група ідеального трикутника — група перетворень, породжена відображеннями гіперболічної площини відносно сторін ідеального трикутника. Як абстрактна група вона ізоморфна вільному добутку трьох груп із двох елементів. Результатом відображень є замощення гіперболічної площини ідеальними трикутниками.
Примітки
Бібліографія