Квантовий гармонічний осцилятор — квантовий аналог класичного гармонічного осцилятора, при цьому розглядаються не сили, що діють на цю частинку, а її гамільтоніан, тобто повну енергію гармонічного осцилятора. При цьому потенціальна енергія вважається квадратично залежною від координат (як і у випадку класичного гармонічного осцилятора), а врахування доданків у її розкладі по координаті приводить до поняття не гармонічного осцилятора. Також це є одна із найважливіших моделей квантової механіки, що має точний розв'язок. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.
Класичний лінійний (одновимірний) гармонічний осцилятор
В класичній фізиці функція Гамільтона для лінійного (одновимірного) гармонічного осцилятора має вигляд
,
де - імпульс частинки, - її маса, - відхилення від положення рівноваги, а - власна циклічна частота осцилятора.
Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях — сила взаємодії прямує до нуля, а — до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора.
Лінійний (одновимірний) квантовий гармонічний осцилятор
У квантовій механіці під лінійним квантовим гармонічним осцилятором (ЛКГО) розуміють систему, яка описується оператором Гамільтона, котрий можна подати у вигляді:
,
де - оператор імпульсу, а — оператор координати. Відповідно до цього гамільтоніану рівняння Шредінгера в «х — представленні» для стаціонарних (основних) станів осцилятора має вигляд:
Для розв'язку цього рівняння можна ввести наступні безрозмірні величини:
Позначаючи диференціювання по штрихом та розглядаючи як функцію , після елементарних перетворень приводимо рівняння Шредінгера до канонічного вигляду:
Нам необхідно знайти скінченні, неперервні та однозначні розв'язки цього рівняння в інтервалі . Такі розв'язки мають місце не при всіх значеннях параметра , а лише при: , при чому відповідні власні функції дорівнюють
.
Тут — нормовані поліноми Ерміта - го порядку. При цьому, множник перед вибраний так, що функція є нормована по до 1:
.
Таким чином, одної вимоги неперервності та скінченності виявляється достатньо, щоб параметр набував лише дискретних значень. Проте, оскільки цей параметр визначає енергію, тому для неї будемо мати також дискретні значення :
Ця формула показує, що енергія осцилятора може приймати тільки дискретні значення. Число , яке визначає номер квантового рівня, називають головним квантовим числом. Енергетичні рівні квантового осцилятора еквідистантні, тобто відстань між двома сусідніми рівнями є сталою величиною, що дорівнює . Навіть в основному стані енергія осцилятора відмінна від нуля: . Нарешті можна записати власну функцію, яка відповідає - му значенню енергії в «»- представленні у вигляді:
Ці функції нормовані так, що . Користуючись наведеними вище формулами можна виписати декілька власних функцій у явному вигляді:
Перша функція не дорівнює нулю у всій області визначення, за виключенням граничних випадків . Друга функція дорівнює нулю при . Точку, де хвильова функція дорівнює нулю, можна назвати вузлом. Третя функція дорівнює нулю при і має таким чином, два вузли. Тут можна відмітити, що кількість вузлів хвильової функції дорівнює її номеру . Ця властивість справедлива для будь-якого значення . Таким чином, квантове число дорівнює числу вузлів власної функції. Ці функції зображені на верхньому малюнку. Вигляд функцій аналогічний вигляду функції , який показує коливання закріпленої на кінцях струни.
Щоб отримати ще повніше уявлення про квантові стани осцилятора, можна привести нижній малюнок для потенціальної функції осцилятора
.
Вздовж осі ординат відкладено потенційну енергію, а вздовж осі абсцис — відхилення .
Оператори народження та знищення Якщо визначити оператори народження та знищення як ,
то гамільтоніан квантового осцилятора можна записати так: .
Оператори народження та знищення задовольняють комутаційному співвідношенню: .
Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд ,
або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів: .
Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані призводить до переходу в стан : .
Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:
Оператор
називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.
Правила відбору
При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, попри нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою .
N-вимірний квантовий гармонічний осцилятор
Зв'язані гармонічні осцилятори
Див. також Рівні Ландау Гармонічний осцилятор Осциляції Зенера — Блоха Квантовий рух в електричному полі
Примітки
Література