У математиці пінг-понг лема (або лема про настільний теніс) — це будь-яке з математичних тверджень, які стверджують, що декілька елементів у групі, які діють на деякій множині вільно, породжують вільну підгрупу цієї групи.

Історія

Пінг-понг аргументація бере свої витоки з кінця 19 століття і зазвичай приписується Феліксу Кляйну, який використовував її при дослідженні підгруп кляйнівських груп, тобто ізометричних дискретних груп тривимірного гіперболічного простору, або, що еквівалентно, перетворень Мебіуса сфери Рімана. Пінг-понг лема була ключовим інструментом у роботіJ. Tits. Free subgroups in linear groups. Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270 1972 року, яка містить доведення такого відомого нині результату як альтернатива Тітса. Результат стверджує, що лінійна група або є майже розв'язною, або містить вільну підгрупу рангу 2. Пінг-понг лема та її варіації широко використовуються в і геометричній теорії груп.

Сучасні версії пінг-понг леми можна знайти в багатьох книжках, зокрема, Ліндон & Шупп,Roger C. Lyndonand de la Harpe Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ; Ch II, Section 12, pp. 167–169 де ла Гарп,Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 25–41. Брідсон & ГефлінгерMartin R. Bridson, and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ; Ch.III.Γ, pp. 467–468. Формальні твердження

Пінг-понг лема для декількох підгруп

Ця версія пінг-понг леми стверджує, що декілька підгруп групи, діючих на множині вільно, породжують вільний добуток. Нижченаведене твердження з'явилося в роботі Олійника та СущанськогоAndrij Olijnyk and Vitaly Suchchansky. Representations of free products by infinite unitriangular matrices over finite fields. International Journal of Algebra and Computation. Vol. 14 (2004), no. 5–6, pp. 741–749; Lemma 2.1, а його доведення в роботі де ла Гарпи.

Нехай — група, що діє на множині , і нехай , де , — підгрупи групи такі, що хоча б одна із цих підгруп має порядок більший ніж 2. Припустимо, що існують попарно неперетинні непорожні підмножини із множини , які задовольняють наступну умову:

для будь-якого і для будь-якого , маємо: .

Тоді

Доведення

З означення вільного добутку випливає, що достатньо буде перевірити лише те, чи задане непорожнє зведене слово представляє собою нетривіальний елемент із групи . Нехай буде таким словом, довжина якого , і нехай

де для деяких . Оскільки слово є зведеним, то для будь-яких і кожне відрізняється від нейтрального елемента з підгрупи . Після цього діємо словом на елемент однієї із множин . Оскільки припустили, що хоча б одна підгрупа має порядок щонайменше 3, то можна припустити, що має порядок щонайменше 3. Спочатку робимо припущення, що і одночасно дорівнюють 1 (із чого випливає, що ). Тепер розглянемо слово , яке діє на множину . Отримуємо наступний ланцюжок обмежень:

За припущенням різні є неперетинними, тому робимо висновок, що слово діє нетривіально на деякий елемент підмножини . Таким чином, слово представляє нетривіальний елемент групи .

Для завершення доведення розглянемо три випадки:

якщо , , тоді нехай (таке існує, оскільки за припущенням має порядок щонайменше 3); якщо , , тоді нехай ; і якщо , , тоді нехай .

У кожному з випадків слово після зведення стає зменшеним словом, у якому перша і остання літера з підгрупи . Отже, слово представляє нетривіальний елемент із групи , так само і слово . Це і доводить наше твердження.

Пінг-понг лема для циклічних підгруп

Нехай — група, що діє на множині . Нехай , де , — елементи групи нескінченного порядку. Припустимо, що існують неперетинні непорожні підмножини

множини , для яких виконуються наступні умови:

, ,

Тоді підгрупа , що породжена елементами , є вільною з вільним базисом

Доведення

Це твердження є наслідком пінг-понг леми для загальних підгруп, якщо покладемо і

Приклади

Приклад спеціальної лінійної групи

За допомогою пінг-понг леми можна довести, що підгрупа , породжена матрицями

і

є вільною групою і має ранг 2.

Доведення

Дійсно, нехай і — циклічні підгрупи групи породжені матрицями  і  відповідно. Неважко перевірити, що і є елементами нескінченного порядку групи і те, що

і

Розглянемо дію групи на за допомогою лінійних перетворень. Покладемо

і

Неважко перевірити, використовуючи наведений вище опис підгрупи і , що для кожного нетривіального отримуємо і для кожного нетривіального . Використовуючи наведену вище пінг-понг лему для двох циклічних підгруп, робимо висновок, що . Оскільки підгрупи і є нескінченно циклічними, то звідси випливає, що підгрупа є вільною групою рангу 2.

Приклад словесно-гіперблочної групи

Нехай — словесно-гіперболічна група, яка є групою без кручення, тобто, не має нетотожних елементів скінченного порядку. Нехай  — два некомутативних елемента, тобто таких, що Тоді існує таке , що для будь-яких натуральних , підгрупа є вільною групою рангу 2.

Схема доведенняM. Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory, pp. 75–263, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 8, Springer, New York, 1987; ; Ch. 8.2, pp. 211–219.

Дія групи на її гіперболічній границі є гомеоморфізмом. Відомо, що, якщо в групі є не тотожнім елементом, то має принаймні дві різні нерухомі точки — і , які належать границі . Відповідно є притягально нерухомою точкою точкою, а — відштовхувально нерухомою точкою.

Оскільки елементи і не комутують, то з основних властивостей словесно-гіперболічної групи випливає, що , ,  і є чотирма різними точками границі  Вибираємо неперетинні околи , , і  відповідно для , , і  на границі . Тоді з властивостей притягувальних/відштовхувальних нерухомих точок елементів  і  випливає, що існує таке , що для будь-яких натуральних , :

З пінг-понг леми випливає, що підгрупа є вільною підгрупою рангу 2.

Застосування пінг-понг леми

Пінг-понг лема використовується в кляйнівських групах для дослідження так званих . У контексті кляйнівських груп пінг-понг лему можна використати для того, щоб показати, що особлива група ізометрії гіперболічного тривимірного простору не лише вільна, а також цілком розривна і геометрично скінченна. Аналогічні аргументи типу Шоткі широко використовуються в геометричній теорії груп, особливо для підгруп словесно-гіперболічних груп і для груп автоморфізмів дерев.Alexander Lubotzky. Lattices in rank one Lie groups over local fields. Geometric and Functional Analysis, vol. 1 (1991), no. 4, pp. 406–431 Пінг-понг лема також використовується для дослідження підгруп типу Шоткі груп класів відображень поверхонь Рімана, де множина, на якій діє група класів відображень, є границею Терстона простору Тайхмюллера.Richard P. Kent, and Christopher J. Leininger. Subgroups of mapping class groups from the geometrical viewpoint. In the tradition of Ahlfors-Bers. IV, pp. 119–141, Contemporary Mathematics series, 432, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007; ; 0-8218-4227-7 Аналогічний аргумент також використовується при дослідженні підгруп вільної групи.M. Bestvina, M. Feighn, and M. Handel. Laminations, trees, and irreducible automorphisms of free groups. Geometric and Functional Analysis, vol. 7 (1997), no. 2, pp. 215–244. Одним із найвідоміших застосувань пінг-понг леми є доведення так званої альтернатива Тітса для лінійних груп. (ДивисьPierre de la Harpe. Free groups in linear groups. L'Enseignement Mathématique (2), vol. 29 (1983), no. 1-2, pp. 129–144 для огляду доведення Тітса і пояснення використаних ідей, включаючи використання пінг-понг леми). Існують узагальнення пінг-понг леми, що породжують не лише вільний добуток, але і також вільні добутки з амальгамацією і .Ці узагальнення використовуються зазвичай для доведення комбінаційної теореми Маскіта для кляйнівських груп.Bernard Maskit. Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ; Ch. VII.C and Ch. VII.E pp.149–156 and pp. 160–167 Також існують версії пінг-понг леми, які гарантують, що декілька елементів групи породжують . Такі версії використовують як для узагальненої дії групи на множині,Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 187–188. так і для конкретних типів дій, наприклад, в контексті лінійних груп,Alex Eskin, Shahar Mozes and Hee Oh. On uniform exponential growth for linear groups. Inventiones Mathematicae. vol. 60 (2005), no. 1, pp.1432–1297; Lemma 2.2 ,Roger C. Alperin and Guennadi A. Noskov. Uniform growth, actions on trees and GL2. Computational and Statistical Group Theory:AMS Special Session Geometric Group Theory, April 21–22, 2001, Las Vegas, Nevada, AMS Special Session Computational Group Theory, April 28–29, 2001, Hoboken, New Jersey. (Robert H. Gilman, Vladimir Shpilrain, Alexei G. Myasnikov, editors). American Mathematical Society, 2002. ; page 2, Lemma 3.1 тощо.Yves de Cornulier and Romain Tessera. Quasi-isometrically embedded free sub-semigroups. Geometry & Topology, vol. 12 (2008), pp. 461–473; Lemma 2.1

Див. також

Вільна група Вільний добуток Кляйнівська група Альтернатива Тітса Словесно-гіперболічна група

Література