У математиці модулярна лямбда-функція не є модулярною функцією (відповідно до означення в Вікіпедії), але кожна модулярна функція є раціональною в . Деякі автори використовують нееквівалентні означення для «модулярних функцій». є сильно симетричною голоморфною функцією у верхній півплощині комплексної площини. Вона інваріантна відносно дробово-лінійної дії і породжує поле функцій часткового упорядкування, тобто є головною модулярною функцією для .
У будь-якій точці її значення можна описати як подвійне відношення точок галуження розгалуженого подвійного накриття проективної лінії за допомогою еліптичної кривої , де відображення визначається як відношення за інволюцією [−1].
-розклад, де це , визначається наступним чином:
Симетризуючи лямбда-функцію відносно канонічної дії симетричної групи на , а потім відповідним чином нормалізуючи, можна отримати функцію у верхній півплощині, яка інваріантна відносно повної модулярної групи , і це фактично модулярний -інваріант Клейна.
Модулярні властивості
Функція є інваріантною відносно групи, породженої перетвореннямиChandrasekharan (1985) p.115
Генератори модулярної групи діють за правиломChandrasekharan (1985) p.109
Отже, дія модулярної групи на функцію є дією , що визначає шість значень подвійного відношення:Chandrasekharan (1985), p.110
Зв'язок із іншими функціями Модулярна лямбда-функція є квадратом еліптичного модуля,Chandrasekharan (1985), p.108 тобто . У термінах і тета-функції модулярну лямбда-функцію можна представити якChandrasekharan (1985), p.108
деChandrasekharan (1985), p.63
Модулярну лямбда-функцію можна записати у термінах півперіодів еліптичних функцій Вейєрштрасса. Нехай — з ,
тодіChandrasekharan (1985), p.108
Оскільки три значення півперіодів різні, то не набуває значень 0 або 1Chandrasekharan (1985), p.108.
Модулярна лямбда-функція пов'язана з -інваріантом наступним чином:Chandrasekharan (1985), p.117Rankin (1977), pp.226-228
,
яка є -інваріантом еліптичної кривої у .
Модулярні рівняння Модулярне рівняння степеня (де — просте число) — алгебраїчне рівняння на функції і . Якщо і , то модулярні рівняння степенів відповідно мають виглядBorwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. p.103-109, 134.}
Змінну (і, отже, ) можна розглядати як голоморфну функцію у верхній півплощині :
Оскільки , то модулярні рівняння можна використовувати для отримання алгебраїчних значень для для будь-якого простого числа .Для будь-якого простого степеня можна ітерувати модулярне рівняння степеня . Цей процес можна використовувати для знаходження алгебраїчних значень для будь-якого
Алгебраїчні значення для також визначаються за допомогою формулJacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin). p.42 є алгебраїчним для будь-якого , , де — лемніскатний синус і — лемніскатна стала.
Лямбда-зірка
Означення та обчислення лямбда-зірки Функція Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. p.152 (де ) дає значення еліптичного модуля , для якого повний еліптичний інтеграл першого роду і його доповняльний аналог пов'язані таким співвідношенням:
Значення можна обчислити так:
Функції і пов'язані одна з одною за допомогою співвідношення:
.
Властивості лямбда-зірки
Будь-яке значення додатного раціонального числа є додатним алгебраїчним числом:
Як довели Селберг і Чоула в 1949 роціChowla, S.; Selberg, A. On Epstein's Zeta Function (I). Semantic Scholar. p. 373Chowla, S.; Selberg, A. On Epstein's Zeta-Function. EuDML. p. 86–110, і (повний еліптичний інтеграл другого роду можна представити в замкненій формі в термінах гамма-функції для будь-якого .
Наступне співвідношення справедливе для всіх :
де — еліптична функція Якобі дельта амплітуди з модулем .
Знаючи одне значення, цю формулу можна використовувати для обчислення пов'язаних значень:Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin). p.~42
, де , — еліптична функція Якобі синус амплітуди з модулем .
Подальші співвідношення:
Частинні значення Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду :
Значення лямбда-зірки для раціональних дробів:
Інваріанти класу Рамануджана Інваріанти класу Рамануджана і визначаються якBerndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 June 1997). Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations. Transactions of the American Mathematical Society. 349 (6): 2125—2173
де . Для таких інваріанти класу є алгебраїчними числами.
Тотожності з інваріантами класу включаютьEymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435. p.240
Інваріанти класів дуже тісно пов'язані з і . Справедливі наступні співвідношення між лямбда-зіркою та інваріантами класу:
Інші застосування
Мала теорема Пікара
Лямбда-функція використовується в оригінальному доведенні малої теореми Пікара, що ціла нестала функція на комплексній площині не може пропускати більше одного значення. Ця теорема була доведена Пікаром у 1879 р.Chandrasekharan (1985), p.121 Припустимо, якщо можливо, що функція є цілою і не приймає значень 0 і 1. Оскільки функція голоморфна, то вона має локальну голоморфну обернену функцію , що визначена поза 0, 1, . Розглянемо функцію . За функція голоморфна і відображає комплексну площину у верхню півплощину. Звідси можна легко побудувати голоморфну функцію з в одиничний круг, яка за теоремою Ліувіля має бути сталою.Chandrasekharan (1985), p.118
Гіпотеза нісенітниці
Функція є нормалізованою для групи , а її -розклад , , де , є градуйованим характером будь-якого елемента в класі суміжності 4C групи-монстра, що діє на .
Література
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Ma\-the\-ma\-ti\-cal Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001 Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der ma\-the\-ma\-ti\-schen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag, pp. 108—121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001 Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), Monstrous moonshine, Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308—339,\\ doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010 Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020 Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), Elliptic Modular Function, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi \& the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987. Conway, J. H. and Norton, S. P. Monstrous Moonshine. Bull. London Math. Soc. 11, 308—339, 1979. Selberg, A. and Chowla, S. ``On Epstein's Zeta-Function.'' J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
Посилання Modular lambda function at Fungrim
Примітки