Групове кільце — кільце, що є водночас вільним модулем, яке можна побудувати за даним кільцем та даною групою. Неформально кажучи, групове кільце — це вільний модуль над кільцем , базис якого перебуває в бієктивній відповідності до елементів групи , множення базисних елементів визначається як множення елементів групи, а на інші елементи множення «поширюється за лінійністю».
Апарат групових кілець особливо корисний у теорії представлень груп.
Визначення Нехай — кільце, а — група. Тоді груповим кільцем називають множину скінченних формальних сум вигляду , які додаються та множаться в такий спосіб: Якщо , то
.
Властивості
Якщо і комутативні, то комутативне. Якщо — кільце з одиницею, то — кільце з одиницею. Вкладення в утворює базис групового кільця. Якщо — підгрупа , то — підкільце кільця . Нехай є полем, тоді кожному елементу можна зіставити лінійне перетворення векторного простору — множення на відповідний базисний вектор зліва. Це зіставлення задає регулярне подання групи.
Література