Скінче́нний топологі́чний про́стір — топологічний простір, у якому існує лише скінченна кількість точок.
Попри те, що топологія переважно розглядає нескінченні простори, скінченні топологічні простори часто використовують як приклади та контрприклади. Вільям Терстон назвав скінченні топологічні простори «дивакуватою темою, що веде до розуміння багатьох питань».
Способи задання топології Топологію на скінченній множині можна визначити за допомогою часткового порядку
,
де позначає замикання множини .
І навпаки, за будь-яким частковим порядком на скінченній множині можна побудувати єдину топологію, що визначається цією властивістю.
Для визначення часткового порядку зручно використовувати орієнтований граф, де вершини — це точки простору, а існування висхідного шляху з в відповідає відношенню .
Приклади Зв'язна двоточка. Псевдоколо — чотириточковий простір, задаваний частковим порядком . Слабко гомотопічно еквівалентне колу. Зокрема, його фундаментальна група ізоморфна .
Властивості Особливою властивістю топологічних просторів є те, що замкнуті множини також визначають топологію. Цю нову топологію можна отримати оберненням часткового порядку, або, що те саме, оберненням орієнтації всіх ребер відповідного графа. Кожен скінченний топологічний простір є компактним. Скінченний -простір дискретний. Зокрема, будь-який скінченний гаусдорфів простір дискретний. Будь-який зв'язний скінченний топологічний простір лінійно зв'язний . Для будь-якого скінченного абстрактного симпліційного комплексу існує слабко гомотопічно еквівалентний йому скінченний топологічний простірP. Alexandroff. «Diskrete Räume.» Матем. сб. 2 (1937), S. 501—519.. Зворотне також істинне: для будь-якого скінченного топологічного простору існує слабко гомотопічно еквівалентний йому скінченний симпліційний комплекс. У таблиці нижче перелічено кількість різних топологій на множині з елементів. Також наведено кількість нееквівалентних (тобто негомеоморфних) топологій. Для розрахунку цих чисел немає простої формули; в енциклопедії послідовностей цілих чисел нині переліки доходять до .
Кількість топологій на множині з n точок Н Різнихтопологій Різних Т0-топологій Нееквівалентнимтопологій НееквівалентнихТ0-топологій 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 3 3 2 3 29 19 9 5 4 355 219 33 16 5 6942 4231 139 63 6 209527 130023 718 318 7 9535241 6129859 4535 2045 8 642779354 431723379 35979 16999 9 63260289423 44511042511 363083 183231 10 8977053873043 6611065248783 4717687 2567284 ОЕІС A000798 A001035 A001930 A000112
Число всіх -топологій на множині з точок і число усіх топологій пов'язує формула
де — число Стірлінга другого роду.
Див. також Скінченна геометрія Скінченний метричний простір Топологічна комбінаторика
Посилання
Література
Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volume 33, Number 3 (1966), 465—474.