«Елементи математики» () — серія книг з математики, написаних французьким колективом під псевдонімом Ніколя Бурбакі. Серія була розпочата в 1939 році. Серія відзначається як масштабне самодостатнє формальне викладення математики.
Маючи метою створити повністю самодостатню інтерпретацію математики, засновану на теорії множин, група публікувала трактат Éléments de mathématique («Елементи математики» або, точніше, «Засади математики»). Трактат складався із двох частин. Перша частина звалася Les structures fondamentales de l'analyse - «Основні структури аналізу» і містила такі роботи (у дужках наведено оригінальні французькі назви та їх скорочені позначення):
І Теорія множин (Théorie des ensembles — E ) — 4 розділи і підсумок Опис формальної математики () Теорія множин () Впорядковані множини, кардинали, цілі числа () Структури () Підсумки ()
ІІ Алгебра (Algèbre — A ) — 10 розділів Алгебричні структури () Лінійна алгебра () Тензорна алгебра, зовнішня алгебра, симетрична алгебра () Многочлени і раціональні функції () Комутативні поля () Впорядковані групи і поля () Модулі над областю головних ідеалів () Напівпрості модулі і кільця () Півторалінійні і квадратичні форми () Гомологічна алгебра ()
ІІІ Топологія (Topologie générale — TG ) — 10 розділів, підсумок, словник Топологічні структури () Рівномірні структури () Топологічні групи () Дійсні числа () Однопараметричні групи () Простори дійсних чисел і проєктивні простори () Адитивні групи () Комплексні числа () Використання дійсних чисел в загальній топології () Функційні простори ()
IV Функції дійсної змінної (Fonctions d'une variable réelle — FVR ) — 7 розділів, словник Похідні () Первісні та інтеграли () Елементарні функції () Диференціальні рівняння () Локальне вивчення функцій () Ряд Тейлора, формула Ейлера — Маклорена () Гамма-функція ()
V Топологічні векторні простори (Espaces vectoriels topologiques — EVT ) — 5 розділів, підсумки, словник Топологічні векторні простіри над скалярними полями () Опуклі множини та локально опуклі простори () Простори лінійних неперервних операторів () Дуальність топологічних векторних просторів () Гільбертові простори (елементарна теорія) ()
VI Інтегрування (Intégration — INT ) — 9 розділів Нерівності випуклості () Простори Ріса () Міри на локально компактних просторах () Розширення міри, простори () Інтегрування за мірою () Векторне інтегрування () Міра Хаара () Згортка та представлення () Міри на гаусдорфових просторах ()
Пізніше стали виходити книги другої частини:
Комутативна алгебра (Algèbre commutative — AC ) — 10 розділів Плоский модуль () Локалізація кільця () Градуювання, фільтрування та топологія () Асоційовані прості ідеали та примарний розклад () Цілі числа () Нормування () Дільники () Розмірність () Повні нетерові локальні кільця () Глибина, регулярність, двоїстість ()
Групи та алгебри Лі (Groupes et algèbres de Lie — LIE) — 9 розділів Алгебра Лі () Вільна алгебра Лі () Група Лі () Група Коксетера та система Тітса () Групи породжені відображеннями () Система коренів () Підалгебра Картана та регулярні елементи () Спліт напівпроста алгебра Лі () Компактна дійсна група Лі ()
Спектральна теорія (Théories spectrales — TS ) — 2 розділа Нормована алгебра () Локально компактна комутативна група ()
Диференційовані та аналітичні многовиди (Variétés différentielles et analytiques — VAR ) — тільки підсумки
Алгебрична топологія (Topologie algébrique — TA) — 4 розділи Накриття () Групоїди () Гомотопія та групоїд Пуанкаре () Напівлокально однозв'язний простір ()
Нотація У книгах Бурбакі були вперше запроваджені символ для порожньої множини Ø; символи для множин натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел; терміни ін'єкція, сюр'єкція і бієкція; знак «небезпечний поворот» на полях книги, який показує, що це місце в доведенні можна зрозуміти неправильно. Цей знак застосовував зокрема теоретик-програміст Дональд Кнут.
Джерела