Многогранник Клі — побудова, що дозволяє отримати новий многогранник за даним. Названа на честь американського математика .
Опис Нехай — опуклий многогранник у просторі будь-якої розмірності. Тоді многогранник Клі многогранника утворений додаванням до кожної грані невисокої піраміди з основою в цій грані.
Зауваження
Зазвичай під час побудови многогранника Клі нові вершини вибирають поруч із серединою кожної з граней початкового многогранника. У цьому випадку многогранник Клі опуклого многогранника можна визначити як опуклу оболонку вершин початкового многогранника та додаткових вершин. Многогранник Клі можна також визначити за допомогою двоїстості як двоїстий многогранник зрізання многогранника, двоїстого початковому.
Приклади Триакістетраедр є многогранником Клі тетраедра, триакісоктаедр — многогранником Клі октаедра, а триакісікосаедр — ікосаедра. У всіх цих випадках многогранник Клі утворено доданням трикутної піраміди до кожної грані початкового многогранника. Конвей використав для такої операції введений Кеплером префікс kis (), що можна помітити в назвах многогранників Клі. +Многогранники Клі правильних многогранниківТриакістетраедр— многогранник Клі тетраедраТетракісгексаедр — многогранник Клі кубаТриакісікосаедр — многогранник Клі октаедра Пентакісдодекаедр — многогранник Клі додекаедраТриакісікосаедр— многогранник Клі ікосаедра Тетракісгексаедр є многогранником Клі куба, утвореним додаванням квадратних пірамід до кожної грані, а пентакісдодекаедр є многогранником Клі додекаедра, утвореним додаванням п'ятикутних пірамід. +Деякі інші многогранники КліГекзакісоктаедр— многогранник КліромбододекаедраГекзакісікосаедр— многогранник Клі ромботриаконтаедра — многогранник Клі ікосододекаедра Базовий многогранник для многогранника Клі не обов'язково має бути правильним. Наприклад, гекзакісоктаедр є многогранником Клі ромбододекаедра, утвореним заміною кожної ромбічної грані додекаедра ромбічною пірамідою, а гекзакісікосаедр — многогранник Клі ромботриаконтаедра. Власне, базовий многогранник не мусить бути гранетранзитивним тілом, як видно на прикладі трипентакісікосододекаедра вище.
Граф Голднера — Харарі можна подати як граф вершин і ребер многогранника Клі трикутної біпіраміди. +Деякі неопуклі многогранники Клі на базі тіл Кеплера — Пуансо — многогранник Клімалого зірчастого додекаедра — многогранник Клівеликого зірчастого додекаедра — многогранник Клівеликого додекаедра — многогранник Клівеликого ікосаедра
Властивості та застосування Якщо має достатньо вершин відносно його розмірності, то многогранник Клі многогранника розмірнісно однозначний — граф, утворений його ребрами і вершинами, не є графом іншого многогранника в іншій розмірності. Конкретніше, якщо кількість вершин -вимірного многогранника не менша ніж , то розмірнісно однозначний.
Якщо будь-яка -вимірна фасета -вимірного многогранника є симплексом, і якщо , то будь-яка -вимірна фасета також є симплексом. Зокрема, многогранник Клі будь-якого тривимірного многогранника є симпліційним многогранником, тобто, всі його грані є трикутниками.
Многогранник Клі можна використовувати для генерування многогранників, що не містять будь-яких гамільтонових циклів — будь-який шлях через одну з вершин, доданих при побудові многогранника Клі, повинен увійти у вершину і вийти з неї через її сусідів, що належать початковому многограннику, і якщо нових вершин буде більше, ніж вершин початкового многогранника, то не буде достатньої кількості вершин, щоб шлях існував. Зокрема, граф Голднера — Харарі, многогранник Клі трикутної біпіраміди, має шість вершин, доданих при побудові многогранника Клі, і лише п'ять вершин у біпіраміді, з якої многогранник Клі створено, тому граф не є гамільтоновим. Це найпростіший негамільтонів симпліційний многогранник. Якщо многогранник з вершинами утворено багаторазовою побудовою многогранника Клі, починаючи з тетраедра, його найдовший шлях має довжину . Тобто показник короткості цих графів дорівнює , приблизно 0.630930. Та ж техніка показує, що в будь-якій вищій розмірності існують симпліційні многогранники з показником короткості . Пламмер використав побудову многогранника Клі для створення нескінченного сімейства прикладів симпліційних многогранників із парним числом вершин, що не мають досконалих парувань.
Многогранники Клі мають деякі екстремальні властивості, пов'язані з їхніми степенями вершин — якщо будь-яке ребро в планарному графі інцидентне принаймні семи іншим ребрам, то має існувати вершина степеня, що не перевищує 5, але одна з її сусідів матиме ступінь 20 або більше. Многогранник Клі многогранника Клі ікосаедра дає приклад, у якому степінь вершин з високим степенем дорівнює рівно 20.
Примітки
Література
Див. також той самий журнал 6(2):33 (1975) і 8:104-106 (1977). Посилання зі статті Харарі.