Нері́вності Плюннеке — Ружі — класична лема адитивної комбінаторики. Описує обмеження на багаторазові множини сум за відомих обмежень на аналогічні короткі суми. Наприклад, обмеження на за відомих обмежень на .
У доведеннях нерівностей Плюннеке — Ружі зазвичай не використовують структуру спільної множини, якій належать і , а використовують тільки загальні аксіоми групової операції, що робить їх істинними для довільних груп (зокрема, для множин натуральних і дійсних чисел, а також остач від ділення на дане число).
Названі на честь німецького математика H. PlünneckeH. Pl¨unnecke. Eine zahlentheoretische anwendung der graphtheorie. J. Reine Angew. Math., 243:171–183, 1970 та угорського математика .
Формулювання Нижче використовуються позначення
Для однієї множини Нехай — абелева група, . Тоді з випливає
Для двох множин Для будь-яких існує таке, що якщо — група, , то з
випливає
Узагальнення на довільну кількість множин Нехай — абелева група, , . Тоді Тоді існує непорожня підмножина така, що I. Z. Ruzsa, «An application of graph theory to additive number theory», Sci. Ser. A Math. Sci. (N. S.), 3 (1989), 97–109.I. Z. Ruzsa, «Sums of finite sets», Number theory (New York, 1991—1995), Springer, New York, 1996, 281—293.М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4(394), DOI: http://dx.doi.org/10.4213/rm9367
Основні наслідки Якщо , то
Якщо , то
Отже, якщо для величин і відомий порядок зростання при зростанні , то
Застосування Нерівність Плюннеке — Ружі використовують для доведення теореми сум-добутків
Примітки
Посилання
М. З. Гараєв, Суми та добутки множин та оцінки раціональних тригонометричних сум у полях простого порядку