Нері́вність трику́тника Ружі пов'язує всі попарні множини різниць трьох множин у довільній групі.
Формулювання Нехай — група і .
Тоді , де .
Нерівність трикутника із додаванням Є ще одна нерівністьМ. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка , с. 17, аналогічна нерівності трикутника Ружі, яка, однак, доводиться складніше, ніж класична — з використанням нерівності Плюннеке — Ружі, яку саму доводять зі використанням класичної нерівності Ружі.
Доведення Розглянемо функцію , що визначається як . Тоді для кожного образу існує не менше різних прообразів вигляду . Це означає, що загальна кількість прообразів не менша, ніж . Значить, .
Аналогія з нерівністю трикутника Розглянемо функціюТекстовое изложение лекции Харальда Хельфготта в СПбГУЛекция Харальда Хельфготта в СПбГУ, що визначає «відстань між множинами» в термінах різниці Мінковського:
Ця функція не є метрикою, тому що для неї не виконується рівність , але вона, очевидно, симетрична, і з нерівності Ружі безпосередньо випливає нерівність трикутника для неї:
Наслідки Підставивши , отримаємо
Підставивши , отримаємо
Підставивши , отримаємо
.
Див. також Нерівність Плюннеке — Ружі
Примітки