Гіперкульовий сегмент — вибрана частина гіперкулі, за перерізу гіперплощиною, або сегмент гіперсферичної поверхні. Термін поєднує залежності пов'язані з алгебраїчним узагальненням рівнянь сфери та площини для довільної вимірностіЗагальну форму доречно використовувати у підготовці виразів для конкретних вимірностей, аналітичних процедур пов'язаних з оптимізацією коли вираз є проміжним, чи у випадках коли неможливо передбачити вимірність переходу. Оптимізовані для конкретних вимірностей, значень параметрів, вирази мають не меншу точність але гарантовано вищу швидкість розрахунку..
Відповідно не є геометричним об'єктом, але містить загальні властивості цілої групи геометричних об'єктів. Якщо геометричне тіло не має самостійної назви, чи вказується зв'язок із узагальненням, для його позначення додають значення вимірності відкидаючи префікс гіпер.
Гіперсферичний сегмент — гіперповерхня сферичної частини кульового сегментаВизначення об'єму через граничні поверхні інколи приводить до асоціації сегмента із поверхнею сферичної частини, але таке позначення менш узгоджене. Якщо вважати відрізок площею із нульовим об'ємом, січна площина має другу вимірність, або потребує зв'язку із більшою вимірністю, та тому є радше аналогією додатності порівняно з об'ємним розглядом. В одновимірному випадку довжину, об'єм, проміжка обмежує однаково вимірні поверхні — точки. Відповідно у гіперпросторі сегмент віднесений до властивостей поверхні є залежним від об'ємного об'єкта терміном..
Алгебраїчно фігура задається трьома параметрами, часто два з яких є геометричними а третій є вимірністю простору.
Вирази властивостей представлені для норми , що має поширене застосування наприклад у теорії ймовірностей, ортогоналізації у лінійній алгебрі. Для характерна просторова ортогональність, що не обов'язково пов'язано з незалежністю, сама норма чи наприклад сума проєкцій одиничного вектора неявно містить зв'язок з кутовими параметрами.
Кутові параметри Просторова вимірність кутових параметрів складна, наприклад вони на відміну від лінійних не залежні від масштабування, та їх можна цілісно виділити як незалежні у просторі параметрів.
В двомірному випадку є простий зв'язок з об'ємом сектора та його конічною частиною , .
У тримірному, простий зв'язок є з супровідними тригонометричними функціями. Для більших вимірностей простору такий зв'язок менш очевидний, через те що подобою кута в радіанах є узагальнений стерадіан, який пов'язаний із плоским аналогом більш складно.
Вирази для властивостей за кінцевих вимірностей через параметри у кульового та сферичного сегментів то поліноми тригонометричних функцій, із чергуванням доданку кутових величин, гіперпростір за набором функцій для властивостей показує чергування характерне вимірностям 2-3.
Лінійні параметри Радіус гіперсферичного сегмента — радіус гіперсфери якій належить його поверхня. Основа гіперкульового сегмента — куля попередньої вимірності з радіусом , що належить площині перерізу. Висота гіперкульового сегмента — найменша відстань між дотичними до нього паралельними гіперплощинами, дорівнює довжині відрізка прямої що нормально проходить через центр основиЧерез зв'язок терміну із фізикою, цей параметр відповідає габаритному розміру — один з розмірів описаного гіперпрямокутника з мінімальною площею, за мінімальної потенціальної енергії тіла. Математично умова має складний вигляд, тому оптимізацію обирається проста просторова варіація позиції, очевидно що за спрощення втрачається загальність, тому зустрічається неоднозначність у визначеннях. У геометрії переходи у ізотропному просторі однаково зважені, тому висотами також інколи називають частини прямих що мають подібну побудову. У транспортній сфері висоту пов'язують із оптимізацією доступу та зберігання..
Об'єм Вирази через радіус гіперсферичного сегмента та висоту , для евклідового простору вимірності :
За обмеження аргумента виразу по висоті, отримання значень в необхідному діапазоні досягається заміною та .
, (гамма-функція)
З використанням спеціальних функцій
гіпергеометричної функції , чи регуляризованої неповної бета-функції :
де , ,
або без обмежень по висоті:
За наявності алгебраїчних функцій у розрахунках, вирази корисні можливістю точно оцінювати залежності, в тому числі за інтегрування чи диференціювання. Розрахунково, відстань у декілька ланок операторів від бібліотечних функцій з точністю останнього біта, кінцевий вираз робить якісною апроксимацією. Але попри те інколи достатні більш прості наближення чи менші необхідні можливості.
Через кінцеву ітерацію за кроків, :
+Алгебраїчна формаобмеженнякрокивиразпараметрикінцевий, «Гонча» серед загальних виразів для невеликих значень вимірності, мінімальні вимоги до оперативної пам'яті та елементарні оператори, але попри те що має характер схильний до представлення добутком, тобто заявку на точність, містить в тілі ітерації сумування яке суттєво її зменшує, тому за «великих дистанцій», розрізнює тільки «головну доріжку» — залежність від вимірності. Оскільки вираз для ітерації нескладно перевести в диференціальний вигляд, є корисним «на швидкості» тобто за аналізу поведінки похідних.
За алгебраїчного використання недоліків пов'язаних із розрахунковою помилкою немає. Допускає незначне прискорення за узгодження початкових значень вимірності.
Приклад створеного виразу для частини залежної від висоти, для шестивимірного простору :
.
Через скінченні суми Замкнена форма. Сумування для чисельних розрахунків, через зменшення помилки-округлення, починається з малих доданків. За оптимізації по розміру, складність обрахунку квадратична.
— біноміальний коефіцієнт.
Для парних вимірностей значення коефіцієнтів можна отримати ітерацією , . Для оберненого сумування , перший коефіцієнт має простіший вигляд . Мінімальна складність через отримання коефіцієнтів ітерацією — подвійна. Для непарних вимірностей, за швидкого оцінкового розрахунку чи аналітичних виразів доречно використовувати прямий порядок. Для оберненого порядку аргумент суми інваріантний відносно заміни граничних значень індекса . Для переходу до нормованого об'єма: , та , .
Метод є компромісом між ітераційним шляхом та спеціальними функціями. Через близькість до параметрів дозволяє робити аналітичні висновки в областях де спеціальні функції малодосліджені, та має меншу порівняно із ітераційним методом складність кінцевого алгебраїчного виразу.
Приклад створеного виразу, для шестивимірного простору :
.
Вираз через суму можна узагальнити для об'єму нульової вимірності, за припущення диференційованості. Хоча сума не визначена для від'ємного аргумента, за диференціювання , об'єм має вираз через однорідний розв'язок . Визначення константи через властивість нульового значення кута: . За нульової константи, результат співпадає з отриманим через гіпергеометричну функцію, та показує властивості нульової вимірності як парної, також з результатів слідує відмінність нульової вимірності від розгляду нульових розмірів:
.
Подібний розгляд можна провести й для нульової вимірності як не парної , але це потребує також доповненої функції залишку .
Рекурентний зв'язок
- в явному вигляді, походить з ітераційного розрахунку:
де
- між сусідніми вимірностями, пірамідне інтегрування через основу:
де
Інтегральна форма За алгебраїчного використання, коли вираз є проміжним, чи для ілюстрації залежності від параметрів: інтегрування через основу, циліндричне
де , . інтегрування через висоту, пірамідне
де , — об'єм описаного циліндру навколо кулі сферичної частини.
інтегрування через кут
.
Диференціальна форма Для нормованих значень, розгляд відносно об'єму кулі:
,
властивості:
Друга похідна об'єму сегмента по висоті , має вираз через похідну площі та похідну об'єму нижчої вимірності. Зв'язок між нормованими площею та об'ємом також справедливий для їх значень.
Диференціальне рівняння для другої похідної нормованого об'єма сегмента кулі, можна записати як властивість, воно має однорідний вигляд для похідних, порівняно з рівнянням для використовуваної гіпергеометричної функції .
В точках максимальної кривини функція має властивість визначену рівнянням першого порядку:
або явний вигляд, та точкова оцінка межевого максимального значення похідної :
Біля великих значень кута похідна межево має вертикальну асимптотику, що зумовлює обмеження у використанні аналітичних функцій, тому координатний розгляд для ітераційних чи різністних схем можуть переносити на трансформовані координати, або групи параметрів.
Асимптотична поведінка
(вирази пов'язані з кривиною для одиничної міри довжини простору.)
Нормований об'єм кульового сегмента, за нескінченної вимірності, веде себе подібно до сходинкової функції Гевісайда , за сталих висоти та радіуса сферичної поверхні:
, за тотожності з півкулею завжди .
Характер наближення для малих висот — швидший за показниковий. У точках максимальної кривини збіжність значно менша — ступенева, у цих точках оцінити співвідношення між параметрами сегмента можна через їх добуток.
Доведення подоби поведінки сходинковій функції, «зтягуванням» у кути сходинки:
Розглянемо точки , .
Оскільки кривина за великої вимірності в цих точках показує наявність «точок зламу» біля тотожності з півкулею: , за значень функції які знаходяться в нулі або одиниці. Разом з кінцевим ненульовим значенням похідної: , тобто знаходженням в «області зламу». Можна говорити про те, що обрані точки визначають межево сходинковий вигляд функції.
Об'єм та площа
(нормовані величини)
Площа сферичної частини сегмента поведінкою подібна до об'ємної , що можна побачити з їх зв'язку. Для точності оцінки за переходу потрібно змінити значення аргументу вимірності: .
Для розгляду кривини площі допустима нижня вимірність зростає . Секції з оцінками самої величини функціональні для нижчої вимірності.
Повна площа , що відповідає кульовому сегменту, містить додаткову площу основи. Наближення для отримання нормованої величини:
.
, множник у наближенні для верхньої межевої оцінки з квадратичною збіжністю. Наближення множника для вибору необхідної точності:
Розгляд через просту заміну аргументу вимірності радше реферативний, відносно класу характеристик. Точне зведення з крайніми випадками та особливостями краще робити окремо, об'єкти мають подібну вимірність параметрично, однак мають відмінне групування просторової вимірності, власне відмінності й виділяють їх як окремі об'єкти.
Наприклад тримірна сфера має обернену до вищих вимірностей концентрацію точок поверхні, чотиривимірна просто пласка у двомірній проєкції, але починаючи з п'ятивимірного гіперпростору подоба наближення до сходинковості однозначна. Вигляд проєкції п'ятимірної сфери та тримірної кулі однакові. У двомірній проєкції концентрація об'єму та поверхні біля діаметру це просто точка. Нескінченно вимірні куля та сфера мають видимість лише в центрі, та невидимі навколо область та границю. Робити аналітичні та кількісні висновки щодо рівномірності та її зв'язку з вимірністю, можна за використання властивостей сегмента.
Для малих значень висоти
Верхня , та відповідно для висоти більше за радіус нижня межа:
.
Допускає узгодження показників з функцією помилок. Отримати оцінку можна з нижньої заміною модуля на квадрат косинуса . Порівнявши похідні після заміни, для не меншого значення необхідно вираз скорегованої оцінки поділити на подвоєний косинус . За не меншого значення в точці, результатом є верхня оцінка.
Нижня: :
,
За аналітичних перетворень, підвищену чутливість до точності аргумента можна зменшувати завдяки переходу до конічної оцінки, замінивши у виразі вимірний множник . Нижня оцінка побудована на обмежені кутового значення в інтегральному виразі, .
Малі висоти геометрично можна позначити через незалежність, — ортогональні сегменти починають пересікатись у точці з однаковим кутом: . Оцінки мають широкий інтервал але їх збіжність на ньому змінна, біля цієї точки збіжність змінюється на порядок по величині косинуса.
Точки максимальної кривини