Диферінтеграл — у дробовому численні, частині математичного аналізу, є комбінованим оператором диференціюіання/інтегрування порядок якого може бути довільним дійсним або комплексним числом.
q-диферінтеграл від функції f, позначається
і є дробовою похідною (при q > 0) чи дробовим інтегралом (при q < 0). При q = 0, q-диферінтеграл функції тотожний самій функції. Існує багато різних визначень диферінтеграла.
Визначення Чотири визначення є найбільш поширеними:
Диферінтеграл Рімана — ЛіувіляНайпростіше та найуживаніше визначення. Ця формула є узагальненням формули повторного інтегрування Коші. Де, .
Диферінтеграл Грюнвальда — ЛєтніковаЄ прямим узагальненням визначення похідної. Є більш складним у застосування, а має деякі переваги перед попереднім означенням.
Диферінтеграл Вейля Формально ідентичний першому означенню, але застосовується для періодичних функцій, з нульовим інтегралом на періоді.
Диферінтеграл КапутоНа відміну від першого означення, диферінтеграл Капуто від константи рівний нулю. Більше того, форма Лапласового перетворення дозволяє оцінити початкові умови обчисленням похідної цілого порядку в точці .
Визначення через перетворення Позначимо неперервне перетворення Фур'є, як :
В Фур'є просторі диференціюванню відповідає множення:
Тому,
узагальнюється до
При двосторонньому перетворенні Лапласа , диференціювання заміняється множенням
Узагальнюючи до довільного порядку і розв'язуючи відносно , отримаємо
Представлення Н'ютоновими рядами дає інтерполяцію похідними цілих порядків:
Для всіх визначень похідних часткового рорядку справедливо:
See
Основні властивості лінійність
Правило нуля Правило для добутку Властивість напівгрупи:
зазвичай не виконується.
Примітки