Теорема Ґріна — Тао — теоретико-числове твердження, яке 2004 року довели і Теренс Тао, згідно з яким послідовність простих чисел містить арифметичні прогресії довільної довжини. Іншими словами, існують арифметичні прогресії простих чисел, що складаються з k членів, де k може бути будь-яким натуральним числом. Доведення полягає в розширенні теореми Семереді.
Формулювання Хоча теорема відома лише доведенням самого факту наявності як завгодно довгих прогресій у множині простих чисел, проте єИ. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях , с. 117. значні посилення цього твердження: по-перше, твердження залишається істинним для довільної множини простих чисел додатної щільності (відносно множини всіх простих чисел); по-друге, є окремі верхні оцінки того, наскільки великими можуть бути елементи найменшої прогресії у множині.
Далі у формулюваннях означає множину простих чисел. Запис означає , де логарифм береться разів. Теорема Ґріна — Тао
Нехай — множина простих чисел, і її щільність відносно простих строго додатна. Тоді для довільного множина містить арифметичну прогресію довжини . У своїй окремій ранішій праці. Ґрін довів результат, що стосується функції розподілу множини , але тільки для окремого випадку тричленної прогресії. Існує стала така, що якщо для множини простих чисел виконано , то вона містить тричленну арифметичну прогресію. Оскільки необхідна функція асимптотично менша від кількості простих чисел на відрізку , то теорема залишається істинною для нескінченних множин додатної щільності, коли , . Таким чином, можна переформулювати останню теорему для фіксованої щільності. Існує стала така, що для довільної множини простих чисел та її щільності виконуватиметься наслідок: якщо , то містить тричленну арифметичну прогресію.
Найдовші послідовності 18 січня 2007 року Ярослав Вроблевський знайшов перший випадок арифметичної прогресії з 24 простих чиселJens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records .: , від n = 0 до 23. Тут і далі стала — це добуток усіх простих чисел, не більших 23 (прайморіал). 17 травня 2008 року Вроблевський та Раанан Чермоні знайшли послідовність із 25 простих чисел: , від n = 0 до 24. 12 квітня 2010 року Бенуа Перішон, користуючись програмою Вроблевського та Джефа Рейнолдса в проєкті розподілених обчислень PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 26 простих чисел: , від n = 0 до 25 (). 23 вересня 2019 року Роб Гаан, учасник проєкту PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 27 простих чисел: , від n = 0 до 26 ().
Варіації та узагальнення 2006 року Тао і Тамар Ціґлер узагальнили результат до поліноміальних прогресій.. Точніше, для будь-яких даних многочленів із цілими коефіцієнтами P1, …, Pk однієї змінної m із нульовим сталим членом є нескінченно багато цілих x, m таких, що x + P1(m), …, x + Pk(m) — прості числа. Особливий випадок, коли поліноми — це m, 2m, …, km, тягне за собою попередній результат (існують арифметичні прогресії простих чисел довжини k).
Див. також Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії Арифметична комбінаторика Теорема Семереді
Примітки
Посилання MathWorld news article on proof Primes in Arithmetic Progression Records