Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. Podobne struktury). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Motywacja Rys historyczny opisujący motywacje twórców teorii wraz zastosowaniami można znaleźć w artykule dotyczącym teorii grup.

W zbiorze liczb całkowitych z ich dodawaniem można wyodrębnić następujące własności: jest działaniem dwuargumentowym określonym na tzn. dla dowolnych jest dla dowolnych zachodzi liczba całkowita spełnia dla wszystkich dla każdej liczby istnieje przeciwna do niej liczba całkowita tzn. taka że

Niech oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych wraz z działaniem mnożenia, które przejawia własności analogiczne do powyższych: jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest dla dowolnych zachodzi liczba ma własność dla wszystkich dla każdej liczby istnieje odwrotna do niej dodatnia liczba rzeczywista tzn. taka że

Rozpatrując zbiór gdzie jest liczbą naturalną, z działaniem dodawania modulo (zob. arytmetyka modularna) okazuje się, że: jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest dla dowolnych zachodzi liczba całkowita modulo    spełnia dla wszystkich dla każdej liczby całkowitej modulo    istnieje przeciwna do niej liczba całkowita modulo    tzn. taka że

Niech oznacza niepusty zbiór, zaś jest zbiorem wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru na siebie. Rozważając składanie przekształceń z można zauważyć, że: jest działaniem dwuargumentowym na ponieważ jeśli są wzajemnie jednoznacznymi przekształceniami na siebie, to również; dla dowolnych zachodzi przekształcenie tożsamościowe spełnia dla wszystkich dla każdego istnieje odwrotne do niego przekształcenie tzn. takie że

Wszystkie powyższe przykłady opisują grupy; w każdym przypadku dany jest niepusty zbiór, na którym określono działanie dwuargumentowe o szczególnych własnościach – tak niżej zostaną zdefiniowane grupy. Dlaczego bada się struktury, które spełniają powyższe/poniższe cztery własności, nie zaś inne; z jakiego powodu wybrano właśnie tę kombinację własności, a nie tylko ich część bądź jakąś dodatkową? Nie ma powodu, by wykluczać te, czy inne możliwości – w istocie rozpatruje się inne teorie i wiele ze wspomnianych kombinacji własności ma swoje nazwy (zob. Podobne struktury), jednakże są one dużo mniej ważne niż struktury spełniające wyróżnione cztery własności.

Teoria matematyczna, aby mogła być uznana za ważną, musi być dostatecznie ogólna, a zarazem mieć znaczenie informatywne. Teoria, której postulaty są w wielu przypadkach zbyt ograniczające, okaże się nieistotna w obszarach, w których nie sposób je zapewnić, co ostatecznie przełoży się na ograniczone nią zainteresowanie. Interesujące teorie są ogólne, jednakże ogólność ma cenę: treść. Umożliwiając spełnienie aksjomatów teorii w różnych obszarach i wielu kontekstach, należy zdawać sobie sprawę, że teoria dotyczyć będzie tylko tego, co jest w nich wspólne – może się wtedy okazać, że nie ma takich rzeczy. Istnieje więc niebezpieczeństwo, że teoria będzie się sprowadzać do listy nieciekawych parafraz postulatów pozbawionych głębi. Nakładanie ograniczeń zmniejsza zakres użycia i zainteresowanie teorią, a znoszenie ograniczeń prowadzi do pustej teorii. Wyważenie między ogólnością a treścią jest trudnym zagadnieniem, a teoria grup jest jedną z tych, w których udało się osiągnąć równowagę – dzięki temu znajduje ona zastosowanie w matematyce czystej i stosowanej, fizyce teoretycznej oraz innych naukach przyrodniczych (zob. teoria grup). Ponadto pełna jest ona głębokich, interesujących i pięknych wyników. To właśnie wskazuje na to, że wybór czterech własności przedstawionych w definicji można uważać za rozsądny; zastosowania podobnych struktur nie okazały się tak owocne, jak grup.

Definicja Zbiór z (dobrzeSformułowanie „dobrze określone” oznacza, że działanie jest funkcyjne, tzn. dowolnym dwóm elementom przypisuje jednoznacznie trzeci element. Mogłoby się wydawać, że wymaganie to jest oczywiste, jednak możliwe jest podanie nie budzącego początkowo zastrzeżeń przykładu, w którym przypisywany element zależy nie od samych elementów, ale od sposobu ich identyfikacji („nazw”); zasadniczo sytuacja ta pojawia się zwykle w wyniku utożsamiania ze sobą elementów (zob. relacja równoważności, grupa ilorazowa, warstwa – Przykłady).) określonym na nim dwuargumentowym działaniem nazywa się grupą, jeżeli ma on następujące własności (spełnia poniższe aksjomaty): Wewnętrzność: dla dowolnych elementów ze zbioru ich wynik również należy do zbioru mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na Łączność: dla wszystkich należących do musi zachodzić Element neutralny: istnieje element w zbiorze spełniający dla dowolnego elementu z tego zbioru warunek Odwracalność: dla każdego musi istnieć dla których

Grupa to para uporządkowana a więc zbiór nazywany nośnikiem, z działaniem Formalnie: funkcją daną wzorem . Dlatego grupy oraz są równe, o ile oraz jako funkcje (relacje) na tym zbiorze; na zbiorze mogą istnieć dwa różne działania oraz ze względu na które będzie tworzyć grupę, wtedy oraz są różnymi grupami.

Charakteryzacje Wprost z definicji można wywieść kilka trywialnych, choć ważnych obserwacji. Warunek łączności oznacza, że kolejność obliczania (nawiasowanie elementów) nie ma wpływu na ostateczny wynik; dzięki temu zapis ma sens i może jednoznacznie wskazywać element Przyjęcie takiej umowy byłoby błędem, gdyby działanie nie było łączne. Przykładowo dzielenie nie jest działaniem łącznym na poza przypadkiem (tutaj ); wyrażenie jest niejednoznaczne.. Postulat istnienia elementu neutralnego oznacza, że nośnik grupy nie może być zbiorem pustymDe facto najmniejszymi grupami w sensie liczby elementów są grupy jednoelementowe (zob. Przykłady)..

W definicji nie zapewnia się nic ponad istnienie (co najmniej jednego) prawostronnego elementu neutralnego, który służy zagwarantowaniu istnienia (co najmniej jednego) prawostronnego elementu odwrotnego do danegoDefinicja nie mówi zatem, że istnieje tylko jeden element będący prawostronnym elementem neutralnym (choć faktycznie tak jest, zob. dalej). Co więcej w definicji nie wspomina się o lewostronnych elementach neutralnych, ich istnieniu, czy związkach między nimi. Podobnie definicja nie wyklucza istnienia wielu prawostronnych elementów neutralnych o tej własności, przy czym część z nich może ją mieć, a część nie. Ponadto część (lub wszystkie) elementy mogą mieć więcej niż jedną odwrotność względem części (lub wszystkich) prawostronnych elementów neutralnych.. Mimo to wynika z niejLemat Z definicji grupy wynika, że: 1. element jest jedynym elementem idempotentnym w 2. jest jednoznacznie wyznaczonym prawostronnym elementem neutralnym w 3. prawostronny element odwrotny elementu z jest również lewostronnym elementem odwrotnym tego samego elementu; 4. jest lewostronnym elementem neutralnym w 5. jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym w 6. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny w 7. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony lewostronny element odwrotny w 8. jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny dowolnego elementu jest równy jednoznacznie wyznaczonemu lewostronnemu elementowi odwrotnemu elementu

Dowód 1. Należy dowieść, że jeśli dla zachodzi to Niech więc dla pewnego zachodzi niech oznacza prawostronny element odwrotny (istnieje z aksjomatów), tj. Wówczas skąd (łączność), a więc (gdyż ), co daje ( jest prawostronnym elementem neutralnym). 2. Warunek oznacza, że jeśli jest prawostronnym elementem neutralnym, tzn. dla wszystkich to Podstawiając w szczególności za otrzymuje się co oznacza z punktu 1. 3. Innymi słowy: jeżeli to Niech zatem wtedy element jest równy (dwukrotnie łączność), a z założenia jest on równy czyli dla zachodzi a więc z punktu 1. wynika, że tzn. 4. Należy udowodnić, że dla dowolnego niech zaś będzie jego prawostronnym elementem odwrotnym. Wówczas skąd (punkt 3.), a stąd czyli dlatego i wreszcie co oznacza, że jest również lewostronnym elementem neutralnym. 5. Niech dla wszystkich czyli będzie lewostronnym elementem neutralnym, wtedy W szczególności podstawiając za element otrzymuje się co z punktu 1. daje 6. Wiadomo, że każdy element ma co najmniej jeden prawostronny element odwrotny, niech będzie to tzn. Należy wykazać, że jeżeli to (gdzie ). Niech więc oraz Z punktu 3. jest skąd czyli a więc to jest i wreszcie (punkt 4.). 7. i 8. Niech a oznacza jego jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny. Z punktu 3. wiadomo, że jest także lewostronnym elementem odwrotnym do tj. Należy udowodnić, że jeśli oraz to Niech zatem oraz wówczas skąd a więc czyli skąd , że grupa ma jeden i tylko jeden prawostronny element neutralny, który równocześnie jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym; w związku z tym mówi się po prostu o elemencie neutralnym grupy. Podobnie dowolny ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny, który jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem odwrotnym do dlatego nazywa się go elementem odwrotnym do i wprowadza dla niego oznaczenie

W świetle tych obserwacji przyjmuje się często definicje: Element neutralny*: istnieje jednoznacznie wyznaczony element w zbiorze spełniający dla dowolnego elementu z tego zbioru warunek Odwracalność*: dla każdego musi istnieć jednoznacznie wyznaczony dla których

Ich przyjęcie zwalnia z dowodzenia wyżej przedstawionych własności, jednak podejście to wymaga sprawdzenia dużo większej liczby warunków zawartych w definicjiPrzy zastąpieniu warunków Element neutralny oraz Odwracalność warunkami Element neutralny* oraz Odwracalność* należy sprawdzić własności: 1. istnieje spełniające dla każdego 2. wspomniany spełnia też dla każdego 3. jest jedynym elementem w o powyższych dwóch własnościach; 4. dla dowolnego istnieje spełniający 5., a ponadto 6. przy czym jest jedynym elementem dla którego

Stosując przedstawioną definicję, wystarczy sprawdzić punkty 1. oraz 4.; punkty 2., 3., 5., 6. wynikają z 1. oraz 4., co znacząco ułatwia przekonanie się o tym, czy dany zbiór z działaniem tworzy grupę.; uzasadnia to też definiowanie grupy jako uporządkowanej czwórki której trzeci element oznacza (jednoargumentowe) działanie odwracania, a czwarty – (wyróżniony) element neutralny.

W definicji można zastąpić istnienie prawostronnych elementów neutralnych i odwrotnych na lewostronne, nie zmieniając jej sensu; okazuje się jednak, że zmiana musi dotyczyć obu rodzajów elementów jednocześnie: istnienie prawostronnego elementu neutralnego i lewostronnych elementów odwrotnych nie zawsze zapewnia istnienie struktury grupy w zbiorze (por. Przykłady), podobnie dotyczy to lewostronnego elementu neutralnego i prawostronnych elementów odwrotnych.

Przytoczona definicja nie jest jedyną, która wprowadza w zbiorze strukturę grupy. Poza istnieniem łącznego działania dwuargumentowego można założyć dla każdego istnienie elementu spełniającego warunek dla dowolnych ; inną możliwością jest wprowadzenie obok działania dwóch innych działań dwuargumentowych: oraz Odpowiadających oraz w standardowej definicji; w szczególności oraz , które dla dowolnych spełniają Do zdefiniowania grupy wystarczy jedynie działanie otóż oraz Ponadto grupę można wtedy zdefiniować za pomocą jednego aksjomatu: dla dowolnych zachodzi .

Grupę spełniającą piąty aksjomat: Przemienność: dla dowolnych elementów zbioru spełniona jest równość