mały|Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich
Układ współrzędnych kartezjańskich, prostokątny układ współrzędnych – prostoliniowy układ współrzędnych, którego osie są parami prostopadłe.
Pewne cechy takiego układu mają szachownica znana od starożytności oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora. W 1636 roku prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak nie opublikował tych prac, przez co pozostały nieznane. Kartezjusz (fr. René Descartes) opracował to niezależnie i opublikował w 1637 roku w traktacie La GéométrieDiscours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637. – stąd nazwa; francuski przymiotnik to cartesien. Wywołało to spór o pierwszeństwo z Fermatem, jednak zakończył się on pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług.
Definicja Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są: punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, oznaczany literą (ang. origin – źródło, początek), ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako: (pierwsza oś, zwana osią odciętych), (druga, zwana osią rzędnych).
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.
Wykresy funkcji
Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy funkcji jednoargumentowych postaci:
np.
przedstawia funkcję liniową. Podstawiając pod wartości, otrzymujemy drugą współrzędną
Współrzędne Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu Tworzymy rzut prostokątny punktu na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu
Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako: – czasem nazywana odciętą, łac. abscissa, – czasem nazywana rzędną, łac. ordinata, – czasem nazywana kotą, łac. applicata.
Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy
odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla
Długość odcinka AB dla lub
Ćwiartki i oktanty thumb|Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich
Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosiNie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem.
Skrętność przestrzeni trójwymiarowejUżywany też bywa termin: orientacja przestrzeni (K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1964, s. 58). mały|Układ lewoskrętny po lewej, prawoskrętny po prawej Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny.
Układ współrzędnych nazywa się prawoskrętnym, jeżeli zginając palce prawej dłoni zakreśla się mniejszy łuk od osi do przy czym kciuk jest stale ustawiony zgodnie ze zwrotem osi (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej).
W ten sposób skrętność układu wyznaczamy posługując się prawą ręką człowieka.
Zobacz też
algorytm Hirvonena przestrzeń kartezjańska geometria nieeuklidesowa układ współrzędnych biegunowych
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa T. Trajdos: Matematyka, cz. III. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, .
Linki zewnętrzne Cartesian coordinates , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23]. Cartesian orthogonal coordinate system , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kartezjański