Test chi-kwadrat – nieparametryczny test statystyczny, w którym statystyka testowa ma rozkład chi-kwadrat. Został zaproponowany przez Karla Pearsona na przełomie XIX i XX w., był jednym z pierwszych testów, który umożliwiał ilościową ocenę odchyleń między oczekiwanymi wartościami teoretycznymi a wartościami obserwowanymi w pomiarach częstotliwości występowania poszczególnych wartości zmiennych nominalnych. Pozwalało to na ocenę, na ile model teoretyczny odpowiada rzeczywistym danym. Test znalazł zastosowanie w naukach przyrodniczych (np. genetyka, fizyka, chemia) oraz w naukach społecznych i psychologii. Test ten służy do weryfikacji hipotez statystycznych. Aby stosować test chi-kwadrat, trzeba dysponować próbą losową o dostatecznie dużej liczebności. Dla małej próby losowej stosuje się dokładny test Fishera.
Notka historyczna Test chi-kwadrat został zaproponowany przez Karla Pearsona, gdy zauważył występowanie znaczącego skośnego rozkładu w niektórych obserwacjach biologicznych. Aby móc modelować obserwacje niezależnie od tego, czy były one normalne, czy skośne, Pearson w serii artykułów opublikowanych w latach 1893–1916 opracował rozkład Pearsona, rodzinę ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, obejmującą zarówno rozkład normalny, jak i wiele rozkładów skośnych. Zaproponował również metodę analizy statystycznej polegającą na użyciu tego rozkładu do modelowania obserwacji oraz przeprowadzaniu testu zgodności, aby określać, jak dobrze model teoretyczny odpowiada rzeczywistym danym.
Typy testów chi-kwadrat Wyróżnia się trzy główne typy testów chi-kwadrat:
Test zgodności chi-kwadrat (ang. ) – bada, czy rozkład zmiennej losowej odpowiada założonemu rozkładowi teoretycznemu. Np. weryfikacja hipotezy, że kostka do gry jest symetryczna (rozkład wyników jest równomierny) na podstawie obserwowanych wyników rzutów tą kostką lub sprawdzenie, czy obserwowane fenotypy roślin odpowiadają oczekiwanym proporcjom. Test niezależności chi-kwadrat (ang. ) – bada, czy dwie zmienne losowe są od siebie niezależne. Np. weryfikacja hipotezy, że rodzaj pożywienia (np. dieta wysokobiałkowa, wysokowęglowodanowa, mieszana) jest niezależny od zachorowalności na określoną chorobę (np. cukrzycę lub choroby serca) w badanej populacji. Test jednorodności chi-kwadrat (ang. ) – bada, czy rozkłady tej samej zmiennej losowej w różnych populacjach są identyczne. Np. weryfikacja hipotezy, że oceny w kilku grupach studentów pochodzą z takiego samego rozkładu.
Test zgodności chi-kwadrat - hipoteza prosta thumb|Wykres rozkładu z zaznaczonym obszarem krytycznym (pole zacieniowane na czerwono). Zaobserwowana wartość statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej , czyli leży w obszarze odrzucenia. Pole niebieskie jest równe wartości p statystyki .
thumb|Wykres rozkładu χ² z zaznaczonym obszarem krytycznym (pole zacieniowane na czerwono). Empiryczna wartość statystyki testowej jest mniejsza od wartości krytycznej , czyli leży poza obszarem odrzucenia. Pole niebieskie jest równe wartości p statystyki .
Załóżmy, że na podstawie jakichś przesłanek, np. wstępnie poczynionych obserwacji lub na podstawie rozważań teoretycznych, przypuszczamy, jaki rozkład prawdopodobieństwa ma badana cecha statystyczna w populacji. Np. przypuszczamy, że mamy do czynienia z rozkładem normalnym wzrostu osobników w populacji, lub że rejestrowane rozpady pierwiastka promieniotwórczego mają rozkład Poissona. Przypuszczenia możemy zweryfikować za pomocą testu zgodności chi-kwadrat, który zaproponował Karl Pearson w 1900 r.
Załóżmy, że pobraliśmy z populacji próbę losową o liczebności równej , zaś dystrybuanta hipotetycznego rozkładu ma znaną postać funkcyjną . Postępujemy wtedy następująco:
(1) Dzielimy oś liczbową na rozłącznych przedziałów (niekoniecznie równej długości). Niech przedziały zawierają odpowiednio wyników, przy czym oznacza liczbę zaobserwowanych wartości zmiennej losowej należących do przedziału ; zachodzi też równość
(2) Dla każdego przedziału wyznaczamy teoretyczne wartości oczekiwane wyników, które obliczymy na podstawie założonego (hipotetycznego) rozkładu prawdopodobieństwa; czyli mamy:
,
gdzie - prawdopodobieństwo teoretyczne, że leży w przedziale .
(3) Obliczamy chi-kwadrat empiryczne statystyki testowej
gdzie: – liczebność próby losowej, – liczba przedziałów, – liczebności wyników pomiarów w poszczególnych przedziałach, , – wartość teoretyczna (oczekiwana) wynikająca z hipotezy, odpowiadająca liczebności empirycznej . Statystyka testowa dla dużych liczebności próby losowej ma w przybliżeniu rozkład o stopniach swobody.
(4) Ustalamy poziom istotności (np. 0,001); jeżeli dysponujemy tablicą rozkładu chi-kwadrat, która zestawia wartości krytyczne, to odczytujemy z niej dla stopni swobody wartość krytyczną , tj. taką wartość, że
Jeżeli zaś tablica rozkładu podaje wartości dystrybuanty tego rozkładu , to ustalamy na podstawie warunku
(5) Jeżeli , to odrzucamy hipotezę zerową, że jest rozkładem badanej cechy w populacji. Jeżeli , to nie ma podstaw, by odrzucić tę hipotezę.
Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej uzasadnia się następująco: Duże wartości świadczą o tym, że wyniki uzyskane z pomiarów tej cechy w próbie losowej znacznie odbiegają od hipotetycznego rozkładu cechy w populacji. Poziom istotności określa prawdopodobieństwo uzyskania skrajnie dużych wartości statystyki, co świadczy o niedopasowaniu modelu teoretycznego do badanej populacji, przy czym: im mniejszy jest poziom istotności, przy którym wartość statystyki chi-kwadrat "wpada" w obszar krytyczny, tym większe jest niedopasowanie.
Uwaga 1 Jak obliczać prawdopodobieństwa teoretyczne Wartości teoretyczne prawdopodobieństw dla rozkładu ciągłego (np. dla rozkładu normalnego) są zadane przez całki z funkcji gęstości prawdopodobieństwa po odpowiednich przedziałach , do których zostały zaliczone wyniki z próby losowej. Wartości teoretyczne prawdopodobieństw dla rozkładu dyskretnego (np. dla rozkładu Poissona, dwumianowego) są równe sumom prawdopodobieństw uzyskania tych wyników próby losowej, które zostały wliczone do odpowiadających im przedziałom pomnożonych przez liczebność próby. Wartość można wyznaczyć także jako różnice wartości dystrybuanty rozkładu teoretycznego dla punktów brzegowych przedziału , tj. ; dotyczy to zarówno rozkładu ciągłego jak i dyskretnego. Uwaga 2 nt. minimalnych liczebności Przyjmuje się, że liczby w poszczególnych przedziałach powinny być większe lub równe 5 lub nawet większe niż 10. Z tego powodu wyniki łączy się w przedziały o odpowiednich liczebnościach (por. Przykład 2, który omawia taką sytuację).
Przykład 1: Weryfikacja symetrii kostki do gry thumb|Test chi-kwadrat pozwala ocenić, czy kostka jest symetryczna na podstawie odpowiednio dużej próby losowej.
Weryfikacja, czy kostka do gry jest „uczciwa” (symetryczna), jest klasycznym przykładem zastosowania testu zgodności chi-kwadrat Pearsona. Proces ten polega na porównaniu zaobserwowanych częstości wyników z częstościami oczekiwanymi, wynikającymi z teoretycznego modelu rozkładu jednostajnego dyskretnego.
Dane eksperymentalne Przeprowadzono doświadczenie losowe polegające na wykonaniu rzutów kostką. Uzyskane wyniki (liczbę wystąpień każdej ze ścian) przedstawiono w poniższej tabeli:
liczba oczek 1 2 3 4 5 6 Suma liczba wystąpień 88 109 107 94 105 97 600
Sformułowanie hipotez Problem weryfikacji symetrii kostki sprowadza się do testowania następujących hipotez:
Hipoteza zerowa (): Kostka jest symetryczna. Prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej z liczb oczek jest identyczne i wynosi dla każdego .
Hipoteza alternatywna: Kostka nie jest symetryczna. Istnieje przynajmniej jedna ściana (liczba oczek), dla której .
Obliczenie wartości oczekiwanych Przy założeniu prawdziwości dla każdej ścianki kostki wartość oczekiwana liczby wystąpień () w serii rzutów jest stała i wynosi: . Zgodnie z wymaganiami metodologicznymi testu chi-kwadrat, wszystkie wartości oczekiwane powinny wynosić co najmniej 5, co w tym przypadku jest spełnione ().
Statystyka testowa Do oceny rozbieżności między wynikami empirycznymi a modelem teoretycznym stosuje się statystykę testową
.
Po podstawieniu danych z tabeli:
Obszar krytyczny i interpretacja Statystyka testowa przy założeniu prawdziwości ma asymptotyczny rozkład chi-kwadrat o liczbie stopni swobody (liczba stopni swobody jest mniejsza o 1 od liczby ścian kostki, gdyż przy znajomości liczb można wyznaczyć liczbę ).
Przyjęto poziom istotności . Wartość krytyczna wyznaczona na podstawie funkcji kwantylowej lub odczytana z tablic rozkładu chi-kwadrat dla i prawdopodobieństwa wynosi . Można sprawdzić, że .
Wniosek statystyczny Obliczona wartość statystyki empirycznej jest mniejsza od wartości krytycznej . W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Dane zebrane w próbie losowej są zgodne z założeniem o symetrii kostki, a zaobserwowane odchylenia od wartości oczekiwanych można przypisać przypadkowemu błędowi losowemu
Przykład 2: Weryfikacja zgodności z rozkładem dwumianowym
Model teoretyczny i hipotezy Rozważane doświadczenie polega na rzucie kostkami do gry, gdzie sukcesem jest wyrzucenie „szóstki”. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie (dla kostki symetrycznej) wynosi . Liczba sukcesów w każdym rzucie może przyjmować wartości i podlega rozkładowi dwumianowemu:
Przedmiotem weryfikacji są następujące hipotezy:
Hipoteza zerowa (): Badana zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami m=5 i p=1/6. Hipoteza alternatywna (): Rozkład zmiennej jest inny niż założony w .
Częstości oczekiwane i grupowanie danych 080,3880,38180,3880,38232,1532,1536,437,1040,6450,03 Wykonano powtórzeń doświadczenia. Wartość oczekiwana liczby wystąpień sukcesów () wyznaczana jest jako iloczyn . Wartości można obliczyć na przykład za pomocą poniższego prostego kodu w Pythonie. Wynikiem są wartości przedstawione w kolumnie tabeli.import math n = 200 # liczba rzutów w próbie m = 5 # liczba kostek p = 1/6 # prawdopodobieństwo sukcesu
for l in range(m + 1): E_l = n * math.comb(m, l) * (p ** l) * ((1 - p) ** (m - l)) print(f"E_{l} = {E_l:.2f}")Zgodnie z typowymi wymogami testu chi-kwadrat każda oczekiwana częstość powinna wynosić co najmniej 5. W przypadku gdy , klasy podlegają połączeniu. W tabeli klasy zostały zgrupowane w jeden przedział . Wartości teoretyczne dla czterech przedziałów przedstawiono w kolumnie tabeli.
Wyniki empiryczne i statystyka testowa W wyniku przeprowadzonej serii rzutów otrzymano następujące częstości obserwowane : – liczba sukcesów 0 1 2 3 4 5 liczba obserwowana 85 79 31 5 0 0 Następnie pogrupowano te wyniki zgodnie z grupami wartości teoretycznych: przedział liczba obserwowana 85 79 31 5 Statystyka testowa obliczana jest ze wzoru Pearsona:
Po podstawieniu danych liczbowych:
Weryfikacja i wniosek Przy założeniu prawdziwości statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład chi-kwadrat o liczbie stopni swobody . Dla przyjętego poziomu istotności wartość krytyczna wyznaczona za pomocą odwrotnej dystrybuanty lub odczytana z tablic rozkładu chi-kwadrat wynosi .
Wniosek: Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej jest znacznie mniejsza niż wartość krytyczna , nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Dane zebrane w próbie są zgodne z teoretycznym modelem rozkładu dwumianowego .
Przykład 3: Test zgodności z przewidywaniami genetycznymi W wyniku krzyżowania roślin o okrągłych, żółtych nasionach z roślinami o pomarszczonych, zielonych nasionach Gregor Mendel otrzymał cztery rodzaje nasion:
(1) pomarszczone i zielone:
(2) pomarszczone i żółte:
(3) okrągłe i zielone:
(4) okrągłe i żółte:
Zgodnie z teorią oczekiwane proporcje liczebności nasion w poszczególnych klasach wynoszą 1 : 3 : 3 : 9.
Chcemy przetestować hipotezę zerową , że stosunek liczby nasion wynosi 1 : 3 : 3 : 9, przy poziomie istotności .
Rozwiązanie.
Liczebność próby losowej wynosi . Teoretyczne prawdopodobieństwa wynoszą . Obliczamy statystykę testową chi-kwadrat: