Całka powierzchniowa – całka, w której obszarem całkowania funkcji jest płat powierzchni.

Całka niezorientowana

Definicja Niech funkcja rzeczywista określona na powierzchni będzie ciągła. Niech oznacza rzut powierzchni na płaszczyznę Dzielimy na rozłączne podobszary tj. dla każdego Oznaczamy przez konkretny podział.

Niech oznacza element powierzchni którego rzutem na płaszczyznę jest Niech oznacza pole powierzchni podobszaru a pole powierzchni elementu Należałoby najpierw zdefiniować pole powierzchni w Por. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3.. Na każdym elemencie obieramy dowolny punkt Rzutem na jest punkt

Tworzymy sumę Rozpatrujemy taki ciąg podziałów żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Obliczanie całki na płacie Płat dany jawnie Jeśli płat powierzchni dany jest równaniem gdzie funkcja jest klasy w obszarze (tzn. jest ciągła w oraz ciągłe są w jej pochodne cząstkowe ), to

czyli całka po płacie jest równa całce podwójnej z funkcji mnożonej przez po rzucie płata na płaszczyznę

Płat dany parametrycznie Niech płat dany jest równaniami i ponadto zachodzą następujące warunki: funkcje są klasy w jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką; różnym punktom wnętrza odpowiadają różne punkty wyrażenie jest różne od zera wewnątrz

Wtedy

Uwaga. Wyrażenie jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego

Przykłady zastosowania Jeżeli funkcja wyraża gęstość materialnego płata w punkcie to masa całego tego płata jest równa

Pole powierzchni płata jest równe

Całka zorientowana Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja Niech funkcja wektorowa określona na powierzchni będzie ciągła.

Poprzez oznaczamy rzut powierzchni na płaszczyznę

dzielimy na podobszary takie że dla każdego Poprzez oznaczamy ten konkretny podział. Przez oznaczamy tę część powierzchni której rzutem na płaszczyznę jest a przez oznaczamy pole powierzchni

Na każdym obieramy dowolny punkt Rzutem na jest

Tworzymy sumę gdzie jest składową wektora normalną do

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

lub

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną. Niekiedy używa się również oznaczenia lub podobnego.

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący: gdzie

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie a osiami układu współrzędnych.

Obliczanie Płat dany jawnie Niech płat jest zadany równaniem gdzie funkcja jest klasy w I niech jest wektorem normalnym do skierowanym zgodnie z osią Wtedy

gdzie jeśli płat jest zorientowany zgodnie z osią i jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie Niech płat dany jest równaniami gdzie wszystkie te funkcje są klasy w I niech ponadto zachodzą następujące warunki: jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką; różnym punktom wnętrza odpowiadają różne punkty wyrażenie jest różne od zera wewnątrz (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ).

Wtedy:

gdzie:

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

Tu gdy płat jest zorientowany zgodnie z wektorem h; gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty

Jeśli płat można opisać wzorami gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach będących rzutami odpowiednio na to

gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a gdy jest zorientowany przeciwnie. itd. Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna. Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów. Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.

Zobacz też twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa twierdzenie Stokesa

Przypisy

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-16]. Surface integral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

powierzchniowa Kategoria:Rachunek wektorowy