Relacja symetryczna – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), która jest równa relacji do siebie odwrotnej.
Formalnie relację dwuczłonową nazywa się symetryczną, gdy: .
Uwaga. W powyższej definicji można też zamienić implikację na równoważność . Istotnie, jest to poprawne przejście, ponieważ powyższy napis jest w odpowiedni sposób symetryczny, względem oznaczeń rozważanych obiektów.
Relacja przeciwsymetryczna
Relację dwuczłonową nazywa się przeciwsymetryczną lub asymetryczną, gdy warunki oraz wykluczają się nawzajem, dla każdych dwóch elementów . Zapisując to do postaci formuły logicznej, jest to taka relacja, że: .
Relacja antysymetryczna Relację dwuczłonową nazywa się antysymetryczną (lub nawpółprzeciw) symetryczną, gdy dla każdych dwóch elementów z koniunkcji warunków i wynika równość . Zapisując inaczej, jest to taka relacja, że: .
Przykłady Relacje symetryczne w matematyce: każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru, relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość, relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe, relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów), relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo, relacje między zbiorami: rozłączność, przecinanie się i równoliczność; relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm, relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm, relacja między krzywymi: homotopia, relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość, relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie, relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności).
Przykłady spoza matematyki: relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi, izomeria molekuł, komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA), bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi, bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi, konkurencja ekologiczna i ekonomiczna, symbioza, bycie miastami partnerskimi, stosunki dyplomatyczne.
Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne: bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.
Zobacz też relacja zwrotna relacja przechodnia relacja równoważności
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych