Teoria de Broglie’a-Bohma (także: teoria fali pilotującej, mechanika Bohma, interpretacja Bohma lub interpretacja przyczynowa) – interpretacja mechaniki kwantowej zakładająca, że: stan układu fizycznego zależy od funkcji falowej, która jest określona w przestrzeni konfiguracyjnej układu oraz stanowi rozwiązanie równania Schrödingera, układ znajduje się w każdej chwili w jednej z możliwych konfiguracji (którą stanowią pozycje wszystkich cząstek układu lub stany wszystkich pól fizycznych), dynamikę układu zadaje tzw. równanie fali pilotującej, które określa wektor prędkości układu w danej chwili, dla zadanej konfiguracji; wektor ten zależy od funkcji falowej; dowodzi się, że tak zadana dynamika układu odtwarza efekty kwantowe.
Ogólny opis założeń Założenie o realności funkcji falowej, która kieruje ruchem klasycznie rozumianych cząstek, zostało przedstawione w 1927 roku przez Louisa de Broglie (1892–1987). Jeszcze w 1962 roku bronił on swojej koncepcji „fali pilotującej” (, ). Teoria ta została rozwinięta przez Davida Bohma (1917–1992), który nazywał tę falę „potencjałem kwantowym” lub „falą przewodnią” (ang. guide wave).
Drugie z założeń teorii de Broglie’a-Bohma nie występuje w kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej. Zakłada ona, że do momentu pomiaru istnieje tylko funkcja falowa, zaś układ fizyczny nie ma żadnego określonego stanu; dopiero w momencie wykonania pomiaru przez fizyka następuje „zaistnienie” układu w konkretnym stanie, odpowiadającym uzyskanemu wynikowi pomiaru. Takie założenie prowadzi jednak do logicznej sprzeczności, m.in. z powodu przypisania pomiarowi szczególnej roli wśród wszystkich procesów, jakie zachodzą w przyrodzie. Sprzeczność ta została dobitnie wyrażona przez samego Schrödingera w tzw. paradoksie kota Schrödingera.
Teoria de Broglie’a-Bohma jest: teorią nielokalną: z równania fali pilotującej wynika, że prędkość każdej cząstki zależy od położeń wszystkich innych cząstek Wszechświata. Rozważania na temat nielokalności teorii de Broglie’a-Bohma doprowadziły Bella do odkrycia słynnego twierdzenia Bella, teorią deterministyczną, tzn. trajektorie cząstek są ściśle wyznaczone przez stan układu w chwili początkowej.
Teoria de Broglie’a-Bohma wprowadza także formalny opis pomiaru. Problem pomiaru nierozwiązany w ramach interpretacji standardowej mechaniki kwantowej nie pojawia się tu, gdyż w teorii de Broglie’a-Bohma eksperyment nie powoduje zaistnienia układu w jakimś stanie, a jedynie rejestruje istniejący już przed pomiarem stan układu – aparatura pomiarowa w wyniku oddziaływania z układem mierzonym przyjmuje stan, odpowiadający mierzonemu stanowi układu.
W teorii można wprowadzić pojęcie kolapsu funkcji falowej (który formułuje jako jeden z postulatów standardowa interpretacja mechaniki kwantowej): efekt kolapsu pojawia się jednak tylko z punktu widzenia obserwatora, dokonującego pomiaru (a więc jest to efekt zawężonej analizy procesu pomiaru); de facto kolaps nie zachodzi.
Opracowano warianty teorii fali uwzględniające np. spiny cząstek czy zakrzywienie przestrzeni, a także odnoszące się do kwantowej teorii pola.
Fala de Broglie jest mikroskopowym odpowiednikiem fali Faradaya.
Szczegółowe założenia teorii Teoria de Broglie’a-Bohma dotyczy ustalonego układu cząstek (a więc nie mogą anihilować ani być kreowane), które ponadto nie posiadają spinu, i oparta jest na następujących postulatach:
1) Układ, który można uznać za odizolowany (np. cały Wszechświat), zawiera stałą liczbę cząstek materii.
2) W chwili układ istnieje w pewnej konfiguracji
gdzie: – wektor położenia -tej cząstki w przestrzeni euklidesowej.
3) Wszystkie możliwe konfiguracje układu cząstek tworzą przestrzeń konfiguracyjną złożoną z -elementowych podzbiorów zbioru .
4) Cząstki bezmasowe (fotony) w ujęciu Bohma nie są traktowane jako zlokalizowane obiekty punktowe, ale jako stany pola elektromagnetycznego, określone w całej przestrzeni fizycznej tj.
gdzie: – jeden z możliwych stanów pola.
5) Wektor prędkości -tej cząstki znajdującej się w położeniu w chwili określa wzór
gdzie: – funkcja falowa, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera w przestrzeni konfiguracyjnej – wektor gęstości prądu prawdopodobieństwa, przypisany -tej cząstce, – operator nabla względem współrzędnych -tej cząstki, – masa -tej cząstki.
Uwaga: Prąd prawdopodobieństwa można zapisać w dwa inne, równoważne sposoby, używając operatora pędu przypisanego -tej cząstce:
6) Ewolucję czasową funkcji falowej określa równanie Schrödingera
przy czym operator Hamiltona dla cząstek, na które nie działa zewnętrzne pole elektromagnetyczne ma postać
gdzie – funkcja opisująca zależność energii potencjalnej układu od jego konfiguracji (niekiedy myląco nazywana energią potencjalną układu), np. dla oddziaływań cząstek naładowanych mamy funkcję energii potencjalnej
gdzie: – ładunki cząstek -tej oraz -tej, – stała Coulomba oddziaływań ładunków elektrycznych.
Obliczanie trajektorii cząstek Z teorii de Broglie’a-Bohma wynika, że każda z cząstek układu porusza się po ściśle określonej, deterministycznej trajektorii w przestrzeni fizycznej (Ruchowi temu odpowiada ruch punktu w abstrakcyjnej przestrzeni konfiguracyjnej). Do obliczenia tych trajektorii trzeba przyjąć warunki początkowe: postać funkcji falowej w chwili konfigurację układu w chwili
Następnie oblicza się postać funkcji falowej w dowolnej chwili czasu rozwiązując równanie Schrödingera. Dopiero teraz można obliczyć trajektorie cząstek rozwiązując równanie ruchu gdyż np. prąd wyraża się przez funkcję falową.
W przypadku, gdy cząstki posiadają spin, zamiast równania Schrödingera należy napisać równanie Pauliego lub równanie Diraca i odpowiednio zmodyfikować wzory na wektory prędkości cząstek (patrz Rozszerzenia), przy czym równanie Diraca jest niezbędne, gdy opisuje się ruch cząstek o dużych prędkościach.
Determinizm a losowość w teorii de Broglie’a-Bohma Mimo że teoria de Broglie’a-Bohma jest teorią deterministyczną, to jednak odtwarza przewidywania statystyczne standardowej mechaniki kwantowej. W teorii de Broglie’a-Bohma prawdopodobieństwa wynikają nie z losowości wyników pomiarów (jak to jest wyjaśnianie w standardowej interpretacji mechaniki kwantowej), ale z nieznajomości warunków początkowych: układy cząstek poddane identycznym warunkom eksperymentalnym mogą znaleźć się w różnych stanach początkowych, niemożliwych do określenia przez eksperymentatora. Mierząc więc położenia końcowe układów uzyska się różne wyniki, mimo że każdy z nich poruszał się po deterministycznej trajektorii.
Zgodność ze standardową interpretacją mechaniki kwantowej Jeżeli zespół statystyczny identycznych układów w chwili początkowej zajmuje stany początkowe w przestrzeni konfiguracyjnej z rozkładem prawdopodobieństwa to we wszystkich chwilach późniejszych układy tego zespołu będą zajmować stany w przestrzeni konfiguracyjnej z rozkładem Oznacza to, że w takim przypadku przewidywania teorii de Broglie’a-Bohma odtwarzają przewidywania standardowej mechaniki kwantowej.
Własność powyższa wynika stąd, że prędkości cząstek w teorii de Broglie’a-Bohma są z założenia zgodne z prądami prawdopodobieństw. Prądy prawdopodobieństwa spełniają zaś równanie ciągłości:
co oznacza, że dla danego prądu gęstość prawdopodobieństwa w chwili t jest jednoznacznie określona; de facto Jeżeli więc w chwili początkowej cząstki mają rozkłady oraz poruszają wzdłuż krzywych, wzdłuż których poruszają się prądy prawdopodobieństw, to ich rozkłady w chwilach późniejszych są równe tj. Zespoły statystyczne o podanych wyżej rozkładach prawdopodobieństw nazywa się zespołami równowagi kwantowej.
Teoretycznie możliwe jest, że w pewnych warunkach kwantowe zespoły statystyczne mogłyby nie być układami równowagi kwantowej. Bohm w pracy z 1952 podał jednak przypuszczenie, że założenie, iż układy przyjmują warunki początkowe zgodne z rozkładem powinno wynikać z praw statystyki i mechaniki. Argument ten był później wsparty przez pracę Bohma z 1953 i uzasadniony w publikacji Vigera i Bohma z 1954, w której wprowadzili stochastyczne fluktuacje płynu kierujące procesem asymptotycznej relaksacji ze stanu kwantowej nierównowagi (tj. stanu, w którym ) do stanu równowagi.
Eksperyment z podwójną szczeliną thumb|Możliwe trajektorie Bohma dla elektronu w eksperymencie z dwiema szczelinami. Podobny wzór był ekstrapolowany w eksperymencie słabych pomiarów z pojedynczymi fotonami
Opis eksperymentu Eksperyment z podwójną szczeliną jest tradycyjnym eksperymentem, który znakomicie pokazuje dualizm korpuskularno-falowy cząstek materii i światła. Eksperyment polega na przepuszczeniu jedna po drugiej pojedynczych cząstek (np. elektronów) przez przesłonę z dwiema szczelinami. Umieszczony w pewnej odległości od przesłony ekran pokazuje rozkład przestrzenny cząstek. W wyniku uzyskuje się układ jasnych i ciemnych prążków, czyli obraz interferencyjny. Efekt ten jest typowy dla fal, ale tu w ekran uderzają punktowe cząstki, stopniowo dając obraz prążków. Eksperymenty pokazały, że obraz interferencyjny uzyskuje się nawet wtedy, gdy przez układ przepuszcza się cząstki tak rzadko, że w danej chwili w układzie jest tylko jedna cząstka. W ten sposób eliminuje się ewentualne oddziaływanie cząstek ze sobą. Każda cząstka wykazuje więc własności korpuskularno-falowe, a wzór interferencyjny tworzony jest przez gromadzenie się wielu pojedynczych, punktowych uderzeń cząstek w ekran.
Interpretacja kopenhaska Według interpretacji kopenhaskiej eksperyment powyżej opisany rozumie się następująco: cząstka od chwili wyemitowania jej do chwili pomiaru nie jest obiektem punktowym, ale jest falą. A zatem, jeżeli nie umieścimy przy szczelinie detektora, cząstka w postaci fali przejdzie przez obie szczeliny – i dlatego będzie interferować z samą sobą; w momencie pomiaru cząstka w sposób losowy lokalizuje się w pewnym punkcie detektora. Interferencja zniknie, jeżeli detektor umieścimy przy jednej ze szczelin, gdyż funkcja falowa ulega kolapsowi z powodu aktu obserwacji.
Interpretacja de Broglie’a-Bohma Według teorii de Broglie’a-Bohma fala pilotująca cząstki przechodzi przez obie szczeliny i ulega interferencji. Fala pilotująca prowadzi cząstkę w taki sposób, że omija ona rejony destruktywnej interferencji, a przyciąga ją w rejony o konstruktywnej interferencji, co daje obraz interferencyjny na ekranie detektora. Postać funkcji falowej określa zbiór wszystkich możliwych torów, jakimi może poruszać się cząstka. Cząstka porusza się po ściśle określonej trajektorii, która przechodzi tylko przez jedną szczelinę. Położenie cząstki na ekranie oraz szczelina, przez którą cząstka przechodzi, są zdeterminowane przez położenie cząstki w źródle. Położenie cząstki w źródle jest nieznane dla eksperymentatora, dlatego pojawienie się cząstki na ekranie jest interpretowane jako losowe.
Dla uproszczenia rozważmy układ dwuwymiarowy, przy czym cząstki poruszają się w płaszczyźnie Jeżeli cząstki pojawiają się w miejscu emisji w położeniach z prawdopodobieństwami to zgodnie z teorią Bohma będą poruszać się po torach takich, że na ekranie umieszczonym w odległości od szczelin pojawią się w punktach z rozkładem proporcjonalnym do Ponieważ fala pilotująca na ekranie ma rozkład interferencyjny, to odpowiedni do tego rozkład cząstek zostanie zarejestrowany.
Modyfikacje eksperymentu (1) Jeśli zamknie się jedną ze szczelin, wtedy nie uzyska się efektu interferencji. Teoria Bohma tłumaczy to następująco: zmiana przesłony z dwóch szczelin na jedną zmienia wzór na funkcję falową za przesłoną – obliczone na tej podstawie tory cząstek zmienią się tak, że nie dadzą efektu interferencyjnego.