W uproszczeniu, lemat sprowadza się do tego, że region krytyczny testu powinien leżeć „na skraju” rozkładów. Jego historyczne znaczenie polega też na ogólnym przedstawieniu podejścia Neymana i Pearsona do testów, oraz opracowaniu zagadnienia mocy testu we wnioskowaniu statystycznym.
Lemat Poniższa ekspozycja lematu Neymana-Pearsona oparta jest na jego prezentacji w podręczniku Mooda, Graybilla i Boesa.
Niech będzie próbą losową z funkcji na mierze prawdopodobieństwa gdzie hipotetyczny parametr przyjmuje jedną z dwóch znanych wartości lub a stałą z przedziału Niech będzie dodatnią stałą, a region krytyczny podzbiorem całej przestrzeni probabilistycznej które spełniają warunki:
jeśli oraz jeśli
Wówczas test odpowiadający regionowi krytycznemu jest testem hipotez i o największej mocy przy danym
Dla przypomnienia, wiarygodność to w tym przypadku całkowite prawdopodobieństwo danych obserwacji przy prawdziwości konkretnego parametru: dla a to dopełnienie zbioru:
Dowód Przyjmijmy, że i spełniające warunki 1 i 2 istnieją. Jeśli nie ma żadnego innego testu o istotności lub niższej, jest automatycznie testem o najwyższej mocy.