jest ono powiązane także z tzw. tożsamością Bézouta.Przy wartości , równanie to obrazuje pewną zależność pomiędzy długościami boków w trójkącie prostokątnym (zob. twierdzenie Pitagorasa). Z kolei dla , równanie to nie ma ani jednego rozwiązania w liczbach — mówi o tym twierdzenie nazywane wielkim twierdzeniem Fermata.Równanie to ma w liczbach naturalnych (tzn. jeśli żądamy: ) dokładnie jedno rozwiązanie: Równanie to ma w liczbach naturalnych () dokładnie dwa rozwiązania takie, że ; są nimi: oraz Równanie takiej postaci jest nazywane równaniem Pella (nazwa ta pochodzi od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; chociaż sam Pell nie zajmował się wprawdzie takimi równaniami). Jeżeli jest kwadratem (pewnej) liczby naturalnej, to równanie takie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych (). Jeśli zaś nie jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie takie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązania takie można odpowiednio stabelaryzować, w zależności od wartości Na potrzeby omówienia tego równania przyjmujemy inaczej, niż zostało powiedziane na wstępie: w równaniu tym, wszystkie z oznaczeń , , będą u nas oznaczać zmienne. To równanie diofantyczne jest warunkiem istnienia tak zwanej pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama (zob. problem Collatza).