Dla każdego operatora ograniczonego zachodzą nierówności
Przypadki szczególne Jeżeli jest macierzą samosprzężoną, to jest odcinkiem rzeczywistym. Dokładniej, dla macierzy hermitowskiej o najmniejszej i największej wartości własnej odpowiednio i zachodzi
Jeżeli jest macierzą normalną, to jej zakres numeryczny jest otoczką wypukłą widma:
W szczególności dla macierzy diagonalnej zakres numeryczny jest wielokątem wypukłym lub odcinkiem, którego wierzchołki leżą wśród wartości własnych.
Dla macierzy zachodzi tzw. twierdzenie o eliptycznym zakresie numerycznym: zakres numeryczny jest domkniętym dyskiem eliptycznym, którego ogniskami są wartości własne macierzy; w przypadku zdegenerowanym elipsa redukuje się do odcinka albo punktu.
Przykładem jest nilpotentna macierz
Dla wektora jednostkowego zachodzi stąd
W tym przykładzie natomiast co pokazuje ostrość nierówności
Związki z rachunkiem funkcyjnym Zakres numeryczny dostarcza informacji o normach funkcji od macierzy i operatorów. W tym kontekście szczególnie ważna jest hipoteza Crouzeixa, według której dla każdej macierzy zespolonej i każdego wielomianu powinna zachodzić nierówność
Stałej nie można w ogólności poprawić. Znany wynik Crouzeixa i Palencii mówi, że zakres numeryczny jest -spektralnym zbiorem dla operatora, tzn.