Macierzą Jacobiego odwzorowania nazywa się macierz
a jego wyznacznikiem Jacobiego – wielomian
Jeżeli ma wielomianową odwrotność , to z reguły łańcuchowej wynika
Po obliczeniu wyznaczników otrzymuje się
Jedynymi elementami odwracalnymi pierścienia są niezerowe stałe, dlatego stałość i niezerowość wyznacznika Jacobiego jest warunkiem koniecznym istnienia wielomianowej odwrotności.
Klasyczna hipoteza jakobianowa głosiła odwrotne wynikanie:
Jeżeli oraz
to istnieje odwzorowanie wielomianowe
takie, że
W języku pierścieni wielomianów wniosek można zapisać jako
Przykładem odwzorowania spełniającego ten warunek jest
Jego wyznacznik Jacobiego wynosi , a odwrotnością jest
Charakterystyka dodatnia Założenie o charakterystyce zero jest istotne. Niech będzie ciałem o charakterystyce . Wielomian
ma pochodną
ale nie jest różnowartościowy. Dla każdego zachodzi bowiem
Analog hipotezy bez dodatkowych założeń jest więc fałszywy w charakterystyce dodatniej nawet dla jednej zmiennej.
Interpretacja geometryczna Nieznikanie wyznacznika Jacobiego oznacza, że odwzorowanie nie ma punktów krytycznych. Nad liczbami zespolonymi z wynika, że odwzorowanie Kellera jest lokalnym biholomorfizmem w otoczeniu każdego punktu.