Innymi słowy, każda nieliniowa składowa jest sześcianem formy liniowej. Redukcje te wprowadzają jednak dodatkowe zmienne, dlatego nie są redukcjami zachowującymi ustalony wymiar.
Edwin Connell i Lou van den Dries udowodnili, że gdyby hipoteza była fałszywa, to istniałby kontrprzykład o współczynnikach całkowitych i wyznaczniku Jacobiego równym . Wynik ten pokazywał również, że prawdziwość uniwersalnej wersji hipotezy nie zależy od wyboru ciała charakterystyki zero.
Hipoteza była znana także przy dodatkowych założeniach dotyczących rozszerzenia ciał
Keller rozstrzygnął przypadek biracjonalny, a późniejsze wyniki obejmowały między innymi przypadek, w którym rozszerzenie to jest rozszerzeniem Galois.
Michiel de Bondt i Arno van den Essen uzyskali ponadto redukcję do przypadku, w którym macierz Jacobiego części nieliniowej jest symetryczna. Dla symetrycznych odwzorowań Drużkowskiego hipoteza została następnie udowodniona.
Kontrprzykład z 2026 roku W lipcu 2026 Levent Alpöge ogłosił kontrprzykład w trzech zmiennych. Według jego relacji został on znaleziony przy użyciu systemu sztucznej inteligencji Fable 5.
Niech
gdzie
Bezpośrednie różniczkowanie i obliczenie wyznacznika daje
Jest to więc odwzorowanie Kellera nad .