Może być też tak, że całka Lebesgue'a nie istnieje, ale istnieje całka niewłaściwa Riemanna.
Ważna własność całki Lebesgue’a, która nie jest zawsze słuszna w przypadku całki Riemanna, polega na tym, że liczenie całki z granicy punktowej ciągu funkcji można odwrócić, tj. zastąpić liczeniem granicy z całki funkcji ciągu. Ponadto, całka Riemanna jest związana z przestrzeniami euklidesowymi, zaś metoda Lebesgue’a umożliwia całkowanie funkcji określonych na dowolnych przestrzeniach z miarą, nie tylko euklidesowych.
Obecnie całka Lebesgue’a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących. Niżej naszkicowane podejście jest jednym z wielu możliwych.
Wprowadzenie thumb|Konstrukcja zbiorów funkcji nieujemnej; liczby leżą na wysokości czerwonych odcinków; zbiory i składają się z dwóch oddzielnych podzbiorów. Całka Riemanna jest związana z miarą Jordana, która jest tylko skończenie addytywną funkcją zbioru. Innymi słowy zakłada się, że miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu funkcji Dirichleta było zastąpienie miary Jordana miarą Lebesgue’a, która jest już przeliczalnie addytywna, tzn.