Najpierw dla wektorów jednostkowych i gdzie i a następnie dla dowolnych liczb zespolonych, korzystając z równości:
Dla wektorów jednostkowych i ich iloczynem jest wektor jednostkowy, którego kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi jest sumą odpowiednich kątów nachylenia obu czynników.
Uwagi ogólne Interpretacja ta łączy ze sobą geometrię analityczną, algebrę (w tym liniową ze względu na obecną strukturę liniową) oraz analizę. Możliwość utożsamienia liczb zespolonych z wektorami znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda; inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa ze względu na zasługi Gaussa na tym polu.
Z punktu widzenia geometrii analitycznej płaszczyzna zespolona to dwuwymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych z wprowadzonym działaniem mnożenia wektorów, co czyni z niej algebrę (przemienną), wyposażona w iloczyn skalarny, a przez to w indukowaną z niego normę (długość) daną jako moduł (pełniący analogiczną rolę do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej) i generowaną za jej pomocą metrykę (odległość).