Płaszczyzna zespolona, płaszczyzna Gaussa – geometryczny model ciała liczb zespolonych Płaszczyzna odgrywa w nim w stosunku do liczb zespolonych rolę analogiczną do roli, którą pełni prosta rzeczywista względem ciała liczb rzeczywistych.

thumb|200px|Ilustracja płaszczyzny zespolonej wraz z jednostkami rzeczywistą i urojoną oraz przeciwnymi do nich wraz z zaznaczonym okręgiem jednostkowym. thumb|200px|Ilustracja liczby zespolonej jako wektora płaszczyzny zespolonej z wprowadzonym układem współrzędnych prostokątnych. Na płaszczyźnie wprowadzamy najpierw prostokątny kartezjański układ współrzędnych, na który składają się dwie prostopadłe do siebie osie współrzędnych przecinające się we wspólnym początku Jedna z osi, oś jest pozioma (oś odciętych), skierowana od lewej strony do prawej, a druga pionowa (oś rzędnych), jest skierowana od dołu do góry. Każdy punkt płaszczyzny jest jednoznacznie opisywany przez dwie współrzędne: odciętą i rzędną będące odpowiednio współrzędnymi rzutów punktu na oś odciętych i oś rzędnych. Każdemu tak opisanemu punktowi płaszczyzny można przyporządkować liczbę zespoloną : gdzie

Przyporządkowanie to jest różnowartościowe i obrazem płaszczyzny jest w nim zbiór wszystkich liczb zespolonych. Zatem oba zbiory można utożsamić. W związku z tym oś odciętych nazywa się osią rzeczywistą, a oś rzędnych – osią urojoną (od pierwiastka kwadratowego z minus jedynki, nazywanego pierwiastkiem urojonym). Zapisujemy to następująco:

Działania na liczbach zespolonych określa się następująco. Niech

Wtedy

Stąd wynika, że działania dodawania i mnożenia na płaszczyźnie można określić następująco:

Z definicji tych wynika, że: Dla punktów leżących na osi rzeczywistej oba działania można utożsamić z działaniami na liczbach rzeczywistych. Dla dowolnego punktu prawdziwa jest równość i bardziej ogólnie co oznacza, że mnożenie przez można zinterpretować na płaszczyźnie jako obrót dokoła środka współrzędnych o kąt 90°.

Interpretacja wektorowa liczb zespolonych Wektorem na płaszczyźnie zespolonej nazywamy odpowiednio skierowany odcinek gdzie Czasami mówi się nie o skierowanym odcinku, ale o parze uporządkowanej punktów. Punkt nazywamy początkiem wektora, a punkt nazywamy końcem wektora. Wektory i są równe, jeśli mają tę samą długość oraz są równoległe i jednakowo skierowane. Warunki te można zastąpić jednym:

thumb|200px|Równość wektorów Czworokąt abcd jest równoległobokiem.

Dla wektora można określić jego długość (długość odcinka ) oraz współrzędne które są różnicami odpowiednich współrzędnych końca i początku wektora: Jeśli i to

Wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste: Jeśli to

Każdy wektor jest iloczynem pewnej liczby rzeczywistej nieujemnej (długości wektora) przez pewien wektor jednostkowy

Każda liczba zespolona wyznacza jednoznacznie wektor (wektor zaczepiony w punkcie o końcu w punkcie ). Każdy wektor jest równy dokładnie jednemu wektorowi o początku w punkcie Tak więc zbiór liczb zespolonych można utożsamić ze zbiorem wektorów na płaszczyźnie: Można zatem myśleć o liczbach zespolonych jako o wektorach Długość wektora nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy ją

Dla dwóch wektorów i można określić ich sumę ( i są końcami wektorów o wspólnym początku ). W tym celu należy poprowadzić wektor równy wektorowi Wtedy Suma tak określona jest przemienna, łączna i ma element neutralny – wektor zerowy.

Iloczyn wektorów (liczb zespolonych) i można określić dwustopniowo. Najpierw dla wektorów jednostkowych i gdzie i a następnie dla dowolnych liczb zespolonych, korzystając z równości:

Dla wektorów jednostkowych i ich iloczynem jest wektor jednostkowy, którego kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi jest sumą odpowiednich kątów nachylenia obu czynników.

Uwagi ogólne Interpretacja ta łączy ze sobą geometrię analityczną, algebrę (w tym liniową ze względu na obecną strukturę liniową) oraz analizę. Możliwość utożsamienia liczb zespolonych z wektorami znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda; inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa ze względu na zasługi Gaussa na tym polu.

Z punktu widzenia geometrii analitycznej płaszczyzna zespolona to dwuwymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych z wprowadzonym działaniem mnożenia wektorów, co czyni z niej algebrę (przemienną), wyposażona w iloczyn skalarny, a przez to w indukowaną z niego normę (długość) daną jako moduł (pełniący analogiczną rolę do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej) i generowaną za jej pomocą metrykę (odległość).

Algebra zespolona jest pierścieniem z dzieleniem, co czyni z niej ciało-umożliwia to wprowadzenie na płaszczyźnie zespolonej geometrii inwersyjnej, choć wymaga to pamiętania przypadkach szczególnych (środku okręgu inwersyjnego, który nie jest w tym przekształceniu odwzorowywany). Dzięki bogatej strukturze liczby zespolone mogą służyć jako model geometrii euklidesowej (a więc i afinicznej), geometrii eliptycznej (a więc również rzutowej), czy geometria hiperboliczna. W niniejszym artykule omówiono geometrie euklidesową, afiniczną płaszczyzny zespolonej; pozostałe, wynikłe z obecności dzielenia w liczbach zespolonych opisano w artykule dotyczącym tzw. sfery Riemanna.

Współrzędne biegunowe Na płaszczyźnie zespolonej wprowadza się układ współrzędnych biegunowych (bądź polarnych). Umożliwia to wyrażenie wektora za pomocą jego długości (odległości od początku układu współrzędnych) oraz kąta skierowanego którego pierwszym ramieniem jest ustalona półprosta – standardowo dodatnia półoś rzeczywista – a drugim dany wektor. W ten sposób wektorowi odpowiada liczba zespolona

gdyż części rzeczywista i urojona są rzutami prostokątnymi na odpowiednie osie, co oznacza, że oraz są trójkątami prostokątnymi.

Dla danej liczby zespolonej liczbę rzeczywistą (wyznaczoną zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa)

odpowiadającą długości wektora nazywa się modułem i oznacza z kolei miarę kąta nazywa się argumentem i oznacza Ponieważ zamiast miary można użyć , gdzie to dowolna liczba całkowita, współrzędnych biegunowych liczby zespolonej nie można wyznaczyć w sposób jednoznaczny. Jeśli miara spełnia nierówności bądź (w zależności od umowy, w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza), to nazywa się ją argumentem głównym bądź wartością główną argumentu liczby i oznacza symbolem

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi wzór Eulera,

to liczbę zespoloną można przedstawić w układzie również za pomocą wzoru

O liczbie zespolonej wyrażonej jako mówi się, że jest w postaci algebraicznej bądź kanonicznej, zaś przedstawionej jako nazywa liczbą zespoloną w postaci geometrycznej, trygonometrycznej bądź biegunowej; wyrażoną wzorem określa się jako liczbę zespoloną w postaci wykładniczej.

Przestrzeń liniowa

thumb|200px|Ilustracja dodawania dwóch liczb zespolonych. thumb|200px|Ilustracja wektora przeciwnego jako wektora w symetrii środkowej względem początku. Niech liczbom zespolonym oraz odpowiadają odpowiednio wektory

oraz

Wówczas działaniu dodawania liczb zespolonych odpowiada dodawanie wektorów

gdzie przy czym liczbie odpowiada wektor zerowy (argument liczby jest nieokreślony), zaś liczbie przeciwnej do liczby odpowiada wektor przeciwny do wektora tzn.

bądź

Odejmowanie liczb zespolonych:

można wtedy określić wzorem

gdzie Działanie to pozwala wprowadzić na płaszczyźnie zespolonej strukturę afiniczną, bo dla każdych dwóch punktów i

gdzie jest wektorem.

Struktura euklidesowa

Działanie mnożenia wektorów zdefiniowane jest jako

thumb|200px|Geometryczna reprezentacja i jej sprzężenia na płaszczyźnie zespolonej. Dany wektor płaszczyzny zespolonej można poddać symetrii środkowej względem początku układu – wspomnianym odbiciem wektora jest wektor Wprowadza się także symetrię osiową płaszczyzny względem osi rzeczywistej – odbicie osiowe wektora w poszczególnych układach dane jest jako

co w przypadku liczby zespolonej nazywa się sprzężeniem zespolonym liczby Ponieważ sprzężenie (jako symetria) nie zmienia modułu liczby zespolonej (odległości), jest więc izometrią – oś rzeczywista jest prostą stałą tego przekształcenia. Za pomocą sprzężenia można zdefiniować również rzut na osie rzeczywistą i urojoną, odpowiednio

oraz

Na płaszczyźnie zespolonej można wprowadzić iloczyn skalarny,

który indukuje normę, którą jest moduł

wyznaczającą metrykę

Ponadto ponieważ

to można traktować jako iloczyn geometryczny wektorów i będący sumą iloczynu wewnętrznego (symetryczny iloczyn skalarny) i zewnętrznego (antysymetryczny iloczyn wektorowy ):

gdzie jednostka urojona pełni rolę pseudoskalara jednostkowego ustalającego dualność Hodge'a między iloczynem zewnętrznym i iloczynem wektorowym.

Geometria syntetyczna thumb|200px|Ilustracja mnożenia dwóch liczb zespolonych

Działanie dodawania, na płaszczyźnie przeprowadzane zwykle metodą równoległoboku – poszczególne elementy odpowiedniego równoległoboku oblicza się zgodnie z twierdzeniem cosinusów (działanie więc na rozwiązywaniu pewnego trójkąta), pozwala na przedstawienie przesunięć i wprowadza pojęcie równoległości.

Mnożenie przez skalar (liczbę rzeczywistą) wektora, które umożliwia mówienie o jednokładności – w przypadku płaszczyzny zespolonej nie jest to szczególnie interesujące ze względu na możliwość mnożenia wektora przez wektor (mnożenia dwóch liczb zespolonych), które daje dużo większe możliwości – umożliwia ono dodatkowo wprowadzenie obrotu. Tak więc mnożenie funkcjonalnie jest złożeniem obrotu i jednokładności o wspólnym środku – dowód geometryczny opiera się na podobieństwie trójkątów o wspólnym wierzchołku (dla iloczynu i należy rozpatrzeć trójkąty o wierzchołkach oraz ): współczynnikiem podobieństwa jest skala jednokładności, zaś miara kąta obrotu to różnica miar kątów między wektorami. W szczególności mnożeniu przez odpowiada obrót o kąt

W ten sposób uzyskuje się pełną grupę euklidesową przekształceń płaszczyzny zespolonej, gdyż zawiera ona każdą istotną izometrię płaszczyzny: tożsamość, przesunięcie (dodawanie), odbicie (sprzężenie), obrót (iloczyn skalarny, mnożenie). Biorąc pod uwagę strukturę liniową oznacza to, że figury płaszczyzny zespolonej można klasyfikować ze względu na podobieństwo (mnożenie).

Przekształcenie afiniczne parzyste płaszczyzny gdzie jest złożeniem obrotu o kąt i jednokładności względem początku o skali oraz przesunięcia o Do istotnych jego własności należą: przekształcanie okręgów na okręgi; odwzorowywanie dowolnej prostej na prostą do niej równoległą, czyli bycie dylatacją; zachowywanie kątów skierowanych, czyli konforemność; zachowanie stosunku podziału

Przekształcenie afiniczne nieparzyste płaszczyzny gdzie jest złożeniem odbicia względem osi rzeczywistej, obrotu o kąt i jednokładności względem początku o skali oraz przesunięcia o Wśród ważnych jego własności wymienia się: przekształcanie okręgów na okręgi; odwracanie kątów skierowanych, czyli antykonforemność; zachowanie stosunku podziału

Jeśli przekształcenie afiniczne nie ma punktów stałych, to jest ono przesunięciem. Jeżeli to przekształcenie to ma dokładnie jeden punkt stały i w przypadku parzystym można je zapisać w postaci a w przypadku nieparzystym można je przedstawić jako gdzie oznacza obraz tego przekształcenia w punkcie zaś Wówczas przekształcenie afiniczne jest złożeniem obrotu wokół o kąt (w przypadku parzystym) bądź odbicia względem prostej przechodzącej przez (w przypadku nieparzystym) oraz jednokładności o skali i środku a więc przekształceniem liniowym. Przekształcenie afiniczne, które ma dwa punkty stałe jest tożsamością.

Ogólnym przekształceniem afinicznym nazywa się odwzorowanie gdzie Zachowuje ono okręgi oraz miary kątów oraz stosunek podziału odcinka. Przekształcenia afiniczne parzyste tworzą podgrupę dylatacji-translacji grupy przekształceń afinicznych.

Niżej przedstawiono kilka przykładów zbiorów opisujących istotne figury na płaszczyźnie zespolonej: