Wówczas przekształcenie jest dwuliniowe i symetryczne ze względu na i Tożsamość polaryzacyjna jest spełniona na mocy dwuliniowości:
wiążąc pochodną drugiego rzędu z różniczką Podobne wnioski są prawdziwe dla pochodnych wyższych rzędów.
Własności Dla funkcji o której przyjmie się, iż jest dostatecznie różniczkowalna w sposób ciągły, zachodzi pewna wersja podstawowego twierdzenia rachunku całkowego; dokładniej:
Twierdzenie podstawowe Niech będzie klasy w tym sensie, iż pochodna Gâteaux jest funkcją ciągłą Wówczas dla dowolnych oraz jest
gdzie symbol całki oznacza całkę Gelfanda-Pettisa (słabą całkę).
Z powyższego wynika także wiele znanych, porządnych własności pochodnej – w tym wieloliniowość i przemienność pochodnych wyższego stopnia. Innymi własnościami, również wynikającymi z twierdzenia podstawowego, są:
Reguła łańcuchowa
dla dowolnych oraz
Twierdzenie Taylora z resztą Niech odcinek między a zawiera się całkowicie w Wówczas jeżeli jest klasy to
gdzie wyraz reszty dany jest jako
Przykłady Niech będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem określonych na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a przestrzeni euklidesowej Funkcjonał
dany wzorem