Prawdopodobieństwo, że kulka w desce Galtona o 8 warstwach () wpadnie do środkowego pojemnika (), wynosi .
Powyższy wzór na funkcję masy prawdopodobieństwa można uzasadnić następująco:
a) Człon określa prawdopodobieństwo otrzymania w ciągu niezależnych prób Bernoulliego dokładnie sukcesów oraz porażek w ustalonej kolejności.
b) Ponieważ próby są niezależne, każdy ciąg prób zawierający sukcesów ma takie samo prawdopodobieństwo, niezależnie od położenia sukcesów w ciągu. Takich ciągów jest – współczynnik dwumianowy zlicza liczbę sposobów uzyskania sukcesów w próbach.
c) Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego z tych ciągów, dlatego prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie sukcesów jest sumą prawdopodobieństw wszystkich takich ciągów. Stąd .
Oznaczenia Jeżeli zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami i , to piszemy:
lub
.
Przykład 1 Wykaż, że rozkład dwumianowy jest unormowany.
Rozwiązanie: Do wzoru dwumianowego podstawiamy . Otrzymujemy natychmiast
co dowodzi, że rozkład dwumianowy jest unormowany do 1.
Uwaga: Nazwa rozkład dwumianowy pochodzi od nazwy powyżej użytego wzoru dwumianowego.
Przykład 2 Załóżmy, że rzucamy niesymetryczną monetą, w której reszka pojawia się z prawdopodobieństwem 0,3.