Schwartz zauważył, że im mniejsza – w pewnym sensie – przestrzeń wyjściowa, tym większa jest jej przestrzeń sprzężona. Przestrzeń nazwana przestrzenią dystrybucji, okazała się „bardzo duża”: należą do niej wszystkie funkcje lokalnie całkowalne oraz tzw. funkcje uogólnione, jak na przykład delta Diraca.
Schwartz nazwał elementy przestrzeni dystrybucjami. Okazało się, że każda z nich ma pochodne wszystkich rzędów, należące znowu do różniczkowanie jest operacją ciągłą, przestrzenie i są lokalnie wypukłe, ale nie są metryzowalne. Dystrybucje okazały się rewelacją w teorii i w zastosowaniach do równań różniczkowych.
Definicja Jeśli jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej (w szczególności może być całą przestrzenią), to przez oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone. Zatem przestrzeń składa się z takich funkcji określonych na zbiorze które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.