Stąd jest rozmaitością gładką, a więc jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.
Jeżeli jest podgrupą trywialną to jest główną przestrzenią jednorodną.
Przykład W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy
szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że jest wymiaru 4.
Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.
Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.
Prejednorodne przestrzenie liniowe Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.