oraz dla dowolnego ), to jest epimorfizmem („na”), zatem Skoro jądro jest ideałem maksymalnym w to musi być ono równe dla pewnego unormowanego wielomianu nierozkładalnego należącego do Twierdzenie to nie zapewnia o istnieniu ciał rzędów wyrażających się za pomocą wszystkich potęg liczb pierwszych; mówi jedynie, iż jeśli istnieje ciało rzędu to jest ono izomorficzne z odpowiedni dowód istnienia przedstawiono dalej..
Dowolne ciało skończone można opisać jako ciało rozkładu wielomianu wyłącznie w zależności od rzędu ciała: ciało skończone o rzędzie będącym potęgą liczby pierwszej jest ciałem rozkładu wielomianu nad ciałem Niech będzie ciałem rzędu z dowodu twierdzenia o rzędzie ciała skończonego wynika, że zawiera podciało rzędu izomorficzne z jest nim podpierścień generowany przez 1. Dla każdego zachodzi otóż jeśli to gdyż jest grupą multiplikatywną rzędu i wtedy tożsamość wynika z obustronnego pomnożenia równania przez co jest również prawdą w przypadku, gdy Każdy element jest pierwiastkiem zatem jest ciałem rozkładu tego wielomianu nad ciałem ;