Powyższe wzory oznaczają więc, że kongruencje o tym samym module można dodawać, odejmować i mnożyć stronami oraz przenosić wyrazy z jednej strony kongruencji na drugą zmieniając przy tym ich znaki. Można również podnieść obie strony kongruencji do tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku). Niepoprawne jest jednak dzielenie kongruencji stronami, ani skracanie wspólnego dla obu stron dzielnika. Jeśli to dzieli Jeżeli i są względnie pierwsze, to musi dzielić a więc Zatem dzielenie obu stron przez wspólny dzielnik jest poprawne jedynie wtedy, gdy jest on względnie pierwszy z modułem.
Pierścień klas reszt Klasy reszt
Niech będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Kongruencja modulo jest relacją równoważności, tzn. jest zwrotna:
symetryczna: pociąga przechodnia: jeśli oraz to
Jak każda relacja równoważności, przystawanie wprowadza Podział zbioru (w tym wypadku liczb całkowitych) na podzbiory nazywane klasami reszt lub klasami kongruencji, które zawierają liczby dające tę samą resztę z dzielenia przez moduł i różniące się przy tym o jego wielokrotność;