Fundamenty pod późniejszą teorię mały|Prosta rzeczywista z działaniem dodawania to przykład grupy przemiennej. mały|Wykres funkcji znaku () – przykładu homomorfizmu grup przemiennych mały|Na płaszczyźnie zespolonej znajdują się grupy cykliczne, np. ta złożona z pierwiastków szóstego stopnia z jedynki.
Ludzkość przez stulecia wprowadzała do rozważań różne struktury algebraiczne, które potem sklasyfikowano jako grupy; pierwszym przykładem mogą być dodatnie liczby wymierne z działaniem mnożenia. Własności pewnych działań na iloczynach jak potęgowanie naturalne i odwracanie – początkowo rozważane osobno od potęgowania – mówią, że funkcje te są automorfizmami tej grupy.
Pitagorejczycy wykazali, że ułamki zbudowane z liczb naturalnych nie wystarczą do opisu odległości. Można to uznać za narodziny wiedzy o szerszym zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych, który próbował sformalizować Eudoksos z Knidos.