Macierz obrotu jest macierzą ortogonalną o wyznaczniku równym 1.
Uzasadnienie:
1) Jeżeli punktem obrotu jest początek układu współrzędnych O(0,0), to każdy punkt P można określić za pomocą wektora łączącego punkt O z punktem P. Można wtedy rozważać działania na takich wektorach (które tworzą przestrzeń wektorową), zamiast rozważać działania na punktach. Załóżmy, że są współrzędnymi wektora p łączącego punkt O z punktem P. Jeżeli wybierzemy ortonormalną bazę w przestrzeni, to kwadrat długości wektora p (równy odległości OP) wyznaczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Można to wyrazić jako też mnożenie macierzowe
Nałóżmy warunek, że obrót (jak i każda inna izometria) nie zmienia odległości punktów, tzn.
Ponieważ
to otrzymamy:
Powyższe równanie musi być prawdziwe dla wszystkich wektorów p, stąd wynika, że
co oznacza, że macierz odwrotna do macierzy obrotu jest macierzą do niej transponowaną
Stąd wynika, że wyznacznik macierzy jest równy
Wynika z powyższego, że macierz obrotu jest macierzą ortogonalną.